74 تبدیل های یکانی
در فصل 72 با عملگرهای یکانی آشنا شدیم. در این فصل، به چگونگی تبدیل اسکالرها، کت ها، براها و عملگرها تحت تبدیلات یکانی می پردازیم. تبدیلات یکانی به وسیله اعمال عملگر یکانی $\hat{U}$ شناخته می شوند. 1-74 تبدیل کت، برا و عملگر کت های دلخواه $| \psi \rangle $ با اعمال یک عملگر یکانی، تبدیل […]
73 ویژه مقدار و ویژه بردار عملگر
در فصول قبل عملگرها، حالت ها و ویژگی های آن ها را بررسی نمودیم. بحث این فصل درباره چگونگی یافتن ویژه مقدار ها (Eigenvalues) و ویژه بردارها (Eigenvectors) برای یک عملگر خواهد بود. البته واژه های مقدار ویژه و بردار ویژه نیز برای هردو متداول است. 1-73 تعریف بردار حالت خاص $| \psi \rangle$ را […]
72 عملگر وارون و عملگر یکانی
در این فصل به وارون یک عملگر کوانتومی و عملگرهای یکانی می پردازیم. 1-72 وارون یک عملگر در صورتی که عملگر وارون پذیر باشد (همانند ماتریس ها که در آن ها وارون پذیری وجود دارد)؛ $\hat{A}^{-1}$، وارون عملگر $\hat{A}$ است که بصورت زیر تعریف می شود: (1) $\large \hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}$ در رابطه بالا $\hat{I}$ عملگر یکه […]
71 تابع عملگرهای کوانتومی
در این فصل به بررسی توابع عملگرهای کوانتومی می پردازیم. 1-71 تعریف فرض کنید که $F(\hat{A})$ تابعی از عملگر $\hat{A}$ باشد. در صورتی که $\hat{A}$ عملگری خطی باشد (توزیع پذیر باشد و با عددهای ثابت جابجا شود)؛ آنگاه می توان $F(\hat{A})$ را با بسط تیلور، به شکل یک سری توانی نوشت: (1) $\large F(\hat{A})= \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty […]
70 عدم قطعیت
از کاربردهای جبر جابجاگر، محاسبه رابطه کلی برای حاصل ضرب عدم قطعیت های دو عملگر دلخواه است. رابطه ای که روابط عدم قطعیت هایزنبرگ را نتیجه می دهد. 1-70 تعریف مقدار چشمداشتی عملگرهای هرمیتی $\hat{A}$ و $\hat{B}$، نسبت به بردار حالت بهنجار $| \psi \rangle $ به صورت زیر است: (1) $\large \langle \hat{A} \rangle=\langle \psi […]
69 جابجاگر
در این فصل به جبر جابجاگر (Commutator Algebra) می پردازیم. 1-69 تعریف جابجاگر دو عملگر $\hat{A}$ و $\hat{B}$ با $[\hat{A},\hat{B}]$ نمایش داده می شود. جابجاگر به صورت زیر تعریف می شود: (1) $\large [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ پادجابجاگر (Anticommutator) $\{\hat{A},\hat{B}\}$ نیز به صورت زیر تعریف می شود: (2) $\large \{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$ 2-69 عملگرهای جابجاپذیر هنگامی به دو عملگر جابجاپذیر می […]
68 عملگر تصویر
1-68 تعریف عملگر تصویر (projection operator)، عملگری هرمیتی است که با مجذور (مربع) خود برابر است. دو شرط زیر به طور کامل عملگر تصویر $\hat{P}$ را توصیف می کند: (1) $\large \hat{P}^\dagger = \hat{P} \; , \; \hat{P}^2=\hat{P}$ عملگر یکه $\hat{I}$ نمونه ساده ای از عملگرهای تصویر است. زیرا هم توان دوی آن با خودش […]
67 عملگر : الحاقی هرمیتی
الحاقی هرمیتی یا مزدوج هرمیتی (Hermitian adjoint or conjugate) عملگر، موضوع بحث من در این فصل است. 1-67 تعریف الحاقی هرمیتی هر چیز را با نماد $\dagger$ در بالا سمت راست آن نمایش می دهیم. الحاقی هرمیتی یک عدد مختلط دلخواه مانند $a$، برابر با مزدوج مختلط آن عدد است: (1) $\large a^\dagger = a^*$ […]
66 عملگر : مقدمه
یکی از مفاهیم بنیادی در صورت بندی مکانیک کوانتومی، عملگر است. در این فصل با تعریف عملگر و چند عملگر خاص که در مکانیک کوانتوم کاربرد دارند؛ آشنا می شویم. 1-66 تعریف عملگر قاعده ای ریاضی است که اگر بر یک بردارحالت کت اعمال شود، کت دیگری نتیجه می دهد و اگر بر یک برا […]
65 نمادگذاری دیراک
حالت فیزیکی یک سامانه کوانتومی، با عنصرهای فضای هیلبرت نمایش می دهیم. این عناصر، بردارهای حالت نامیده می شوند. بردارهای حالت در پایه های متفاوت بوسیله بسط تابع ها نمایش پذیرند. همانطور که بردارهای فضای دکارتی را می توان در دستگاه مختصات های گوناگون (مثلا با اندکی دوران نسبت به یکدیگر) نمایش داد. قطعا بردار […]