در فصل 72 با عملگرهای یکانی آشنا شدیم. در این فصل، به چگونگی تبدیل اسکالرها، کت ها، براها و عملگرها تحت تبدیلات یکانی می پردازیم. تبدیلات یکانی به وسیله اعمال عملگر یکانی $\hat{U}$ شناخته می شوند.

1-74 تبدیل کت، برا و عملگر

کت های دلخواه $| \psi \rangle $ با اعمال یک عملگر یکانی، تبدیل می شوند:

(1)

$\large \hat{U} | \psi \rangle = | \psi’ \rangle$

الحاقی هرمیتی رابطه بالا، تبدیل براهای دلخواه را می دهد:
(2)

$\large\langle \psi | \hat{U}^\dagger = \langle \psi’ |$

یک عملگر دلخواه $\hat{A}$ یک کت مانند $| \psi \rangle $ را به کت دیگری مثل $| \phi \rangle $ می برد:

(3)

$\large \hat{A} | \psi \rangle = | \phi \rangle$

تبدیل شده این عملگر دلخواه یعنی $\hat{A’}$ نیز باید کت $| \psi’ \rangle $ را به کت $| \phi’ \rangle $ می برد که رابطه تبدیل این دو کت همان رابطه (1) است:

(4)

$\large \hat{A’} | \psi’ \rangle = | \phi’ \rangle$

از رابطه (3) می خواهیم به رابطه (4) برسیم تا $\hat{A’}$ را برحسب $\hat{A}$ بدست آوریم. کافی است $\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{I}$  بنابراین سمت چپ رابطه (3) را می توان به صورت زیر نوشت:

(5)

$\large \hat{A}\hat{I} | \psi \rangle = \hat{A}\hat{U}^\dagger \hat{U} | \psi \rangle$

حال رابطه (3) به این صورت می شود؛$\hat{A}\hat{U}^\dagger \hat{U} | \psi \rangle = | \phi \rangle$ . کافی است $\hat{U}$ را از سمت چپ در دو طرف تساوی ضرب کنیم و اندکی تمیز کاری انجام دهیم:

(6)

$\large (\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger)(\hat{U}| \psi \rangle)=(\hat{U}| \phi \rangle)$

از سمت چپ، مطابق رابطه (1) پرانتز دوم و سوم معادل تبدیل یکانی کت است؛ بنابراین پرانتز اول تبدیل یکانی عملگر $\hat{A}$ خواهد بود:

(7)

$\large \hat{A’}=\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger$

معکوس این تبدیل نیز به سادگی قابل انجام است؛ ابتدا از چپ $\hat{U}^\dagger$ و سپس از راست $\hat{U}$ را در دو طرف تساوی (7) ضرب می کنیم؛ حاصل با توجه به $\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{I}$ به صورت زیر خواهد بود:

(8)

$\large \hat{U}^\dagger\hat{A’}\hat{U}=\hat{A}$

2-74 تبدیل اسکالر

اعداد مختلط تحت تبدیل یکانی تغییری نمی کنند؛ یک عدد مختلط دلخواه مانند $\langle \psi | \hat{A} | \chi \rangle$ را درنظر بگیرید؛ می خواهیم برابری آن با تبدیل یافته اش را نشان دهیم:

(9)

$\langle \psi’ | \hat{A’} | \chi’ \rangle = \langle \psi | \hat{U}^\dagger (\hat{U} \hat{A} \hat{U}^\dagger) \hat{U} | \chi \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \chi \rangle$

بنابراین هر عدد مختلط $a$ با تبدیل یافته اش یکسان است.

(10)

$\large a=a’$

3-74 ویژگی های تبدیل یکانی

• در صورتی که $\hat{A}$ عملگری هرمیتی باشد ($\hat{A}=\hat{A}^\dagger$)؛ تبدیل یافته آن نیز هرمیتی خواهد:

(11)

$\hat{A’}^\dagger=(\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger)^\dagger=\hat{U}\hat{A}^\dagger \hat{U}^\dagger=\hat{U}\hat{A} \hat{U}^\dagger=\hat{A’}$

• ویژه مقدار های $\hat{A}$ و تبدیل یافته یکانی آن $\hat{A’}$ یکسان اند؛ معادله ویژه مقداری زیر را درنظر بگیرید:

(12)

$\large \hat{A} | \psi \rangle = a_n | \psi \rangle$

(13)

$\hat{A’} | \psi’ \rangle = (\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger) \hat{U} | \psi \rangle =  \hat{U} (\hat{A}| \psi \rangle)=\hat{U}(a_n | \psi \rangle)=$

$a_n (\hat{U}|\psi \rangle) = a_n | \psi’ \rangle$

بدین ترتیب خواهیم داشت:

(14)

$\large \hat{A’} | \psi’ \rangle = a_n | \psi’ \rangle$

• ناوردایی اسکالر تحت تبدیل یکانی چند ویژگی پراهمیت را دربردارد؛ درصورتی که جابجاگر دو عملگر دلخواه عددی مختلط باشد، جابجاگر عملگرهای تبدیل یافته نیز همان عدد مختلط خواهد بود:

(15)

$\large [\hat{A},\hat{B}] = [\hat{A’},\hat{B’}] = a$

• درصورتی که در (9) $\hat{A}=\hat{I}$ باشد؛ پی می بریم که ضرب داخلی نیز تحت تبدیل یکانی تغییر نمی کند:

(16)

$\large \langle \psi’ | \chi’ \rangle = \langle \psi | \chi \rangle$

• حالت خاص نتیجه بالا، برابری هر دو بردار حالت است که نشان دهنده عدم تغییر نرم هر بردار حالت تحت تبدیل یکانی است:

(17)

$\large \langle \psi’ | \psi’ \rangle = \langle \psi | \psi \rangle$

• همچنین می توان نشان داد که $\hat{A’}^n = (\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger)^n = \hat{U}\hat{A}^n\hat{U}^\dagger$ :

(18)

$(\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger)^n = \hat{U}\hat{A}(\hat{U}^\dagger \hat{U})\hat{A}(\hat{U}^\dagger \hat{U})… (\hat{U}^\dagger \hat{U})\hat{A} \hat{U}^\dagger $

$= \hat{U}\hat{A}^n\hat{U}^\dagger$

• با توجه به اینکه تابع را به صورت سری توانی تعریف کردیم؛ نتیجه بالا به توابع نیز قابل تعمیم است:

(19)

$\large f(\hat{A’})=f(\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger)=\hat{U}f(\hat{A})\hat{U}^\dagger$

• رابطه (19) به تابعی از چند عملگر نیز قابل تعمیم است:

(20)

$f(\hat{A’},\hat{B’},…)=f(\hat{U}\hat{A}\hat{U}^\dagger,\hat{U}\hat{B}\hat{U}^\dagger,…)$

$=\hat{U}f(\hat{A},\hat{B},…)\hat{U}^\dagger$

• روابط پایین نیز میان عملگرها و تبدیلات یکانی آن ها برقرار است:

(21)

$\hat{A}=b\hat{B}+c\hat{C} \rightarrow \hat{A’}=b\hat{B’}+c\hat{C’}$

(22)

$\hat{A}=a\hat{B}\hat{C}\hat{D} \rightarrow \hat{A’}=a\hat{B’}\hat{C’}\hat{D’}$

4-74 جمع بندی فصل

با تبدیل های یکانی و ویژگی های آن آشنا شدیم. تبدیلات یکانی تغییری در مشخصات فیزیکی سامانه ایجاد نمی کنند؛ تنها توصیفی از سامانه را به توصیف معادلی دیگر تبدیل می کنند.

 

تمرینات فصل

*1- با استفاده از رابطه (7)، رابطه (15) را اثبات نمایید.

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	73 ویژه مقدار و ویژه بردار عملگر	74 تبدیل های یکانی	75