در فصول قبل عملگرها، حالت ها و ویژگی های آن ها را بررسی نمودیم. بحث این فصل درباره چگونگی یافتن ویژه مقدار ها (Eigenvalues) و ویژه بردارها (Eigenvectors) برای یک عملگر خواهد بود. البته واژه های مقدار ویژه و بردار ویژه نیز برای هردو متداول است.
1-73 تعریف
بردار حالت خاص $| \psi \rangle$ را در نظر بگیرید؛ هرگاه عملگر $\hat{A}$ بر آن اعمال شود و ضریبی مختلط مانند $a$ از $| \psi \rangle$ را نتیجه دهد؛ به این بردار حالت؛ ویژه بردار عملگر $\hat{A}$ و به آن ضریب مختلط $a$، ویژه مقدار عملگر $\hat{A}$ می گویند:
(1)
$\large \hat{A} | \psi \rangle = a | \psi \rangle$
معادله بالا به عنوان معادله یا مسئله ویژه مقدار $\hat{A}$ شناخته می شود.
2-73 خواص مسائل ویژه مقدار
از آنجایی که عملگر یکه $\hat{I}$ بر هر بردارحالتی اثر کند آن را نتیجه می دهد؛ ویژه مقدار عملگر یکه $1$ خواهد بود. بنابراین تمامی بردارها، ویژه بردار عملگر یکه اند:
(2)
$\large \hat{I} | \psi \rangle = | \psi \rangle$
رابطه (1) را درنظر بگیرید؛ هر توان طبیعی $n$ از عملگر $\hat{A}$، ویژه مقدار $a^n$ را با همان بردار ویژه خواهد داشت.
(3)
$\large \hat{A}^n | \psi \rangle = a^n | \psi \rangle$
اثبات
به سادگی می توان رابطه بالا را اثبات نمود؛ اگر یک عملگر $\hat{A}$ در دو طرف تساوی رابطه (1) ضرب کنیم:
$\large \hat{A}^2 | \psi \rangle = a \hat{A} | \psi \rangle$
که طرف راست تساوی از رابطه (1) معادل است با $ (a) a | \psi \rangle $. بنابراین خواهیم داشت:
$\large \hat{A}^2 | \psi \rangle = a^2 | \psi \rangle$
حال می توان به طور مشابه هرتعداد دلخواه $\hat{A}$ در رابطه بالا ضرب کرد و (3) را نتیجه گرفت.
با توجه به اینکه در فصل 71 – رابطه (1) ،تابع عملگرهای کوانتومی را به صورت سری توانی معرفی کردیم؛ می توان از (3) نتیجه گرفت:
(4)
$\large F(\hat{A}) | \psi \rangle = F(a) | \psi \rangle$
برای مثال تابع نمایی با ورودی عملگر $\hat{A}$، مسئله ویژه مقدار زیر را دارد:
(5)
$\large e^{\hat{A}} | \psi \rangle = e^{a} | \psi \rangle$
از روی $\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}$ و روابط (1) و (2) می توان به سادگی پی برد که ویژه مقدار $\hat{A}^{-1}$ معکوس $a$ است و همچنان ویژه بردارها یکسان می مانند که اثبات آن را در تمرین 1 به شما می سپارم:
(6)
$\large \hat{A}^{-1} | \psi \rangle = \displaystyle{\frac{1}{a}} | \psi \rangle$
3-73 قضایای مربوط به مسائل ویژه مقداری
در اینجا چند قضیه پرکاربرد و مهم مربوط به مسائل ویژه مقداری را مورد بررسی قرار می دهیم. این قضایا اهمیت قابل توجهی در صورت بندی ریاضی مکانیک کوانتومی خواهند داشت.
قضیه 1
برای هر عملگر هرمیتی، همه ویژه مقدارها حقیقی اند. همچنین همه ویژه بردارهای متناظر با ویژه مقدارهای متفاوت، بریکدیگر عمودند. عملگر $\hat{A}$ را یک عملگر هرمیتی ($\hat{A}=\hat{A}^{\dagger}$) و $n$ را زیروند(اندیس) ویژه بردار و ویژه مقدار متناظر در نظر می گیریم:
(7)
$\large \hat{A} | \phi_n \rangle = a_n | \phi_n \rangle \Rightarrow a_n \in \mathbb{R} \;$ و $\large \; \langle \phi_m | \phi_n \rangle = \delta_{mn}$
اثبات
برای اثبات، ابتدا با استفاده از مسئله ویژه مقدار عملگر $\hat{A}$ و $\hat{A}^{\dagger}$ را میان برا و کت ویژه حالت با اندیس های متفاوت ساندویچ کنیم:
(8)
$\hat{A} |\phi_n \rangle = a_n | \phi_n \rangle \displaystyle{\overset{\langle \phi_m |}{\Rightarrow}} \langle \phi_m |\hat{A} |\phi_n \rangle = a_n \langle \phi_m |\phi_n \rangle$
$\langle \phi_m |\hat{A}^{\dagger} = a_m^* \langle \phi_m | \displaystyle{\overset{| \phi_n \rangle}{\Rightarrow}} \langle \phi_m |\hat{A}^{\dagger} |\phi_n \rangle = a_m^* \langle \phi_m |\phi_n \rangle $
با توجه به هرمیتی بودن $\hat{A}$ طرف چپ نتایج بالا باهم یکسان اند. بنابراین کافی است دو رابطه را از هم کم کنیم:
(9)
$\large (a_n – a_m^*) \langle \phi_m |\phi_n \rangle = 0$
رابطه بالا را در دو حالت بررسی می کنیم:
اگر $n=m$ باشد: چون $\langle \phi_n |\phi_n \rangle > 0$ است؛ باید پرانتز صفر باشد بنابراین $a_n = a_n^*$ که تعریف اعداد حقیقی است؛ بنابراین همه ویژه مقادیر حقیقی اند.
اگر $n \neq m$ باشد: به طور کلی دلیلی ندارد که پرانتز صفر باشد ($a_n \neq a_m^*$)؛ بنابراین لازم است که $ \langle \phi_m |\phi_n \rangle = 0$ برقرار باشد که نتیجه دوم قضیه را به ما می دهد.
قضیه 2
ویژه حالت های یک عملگر هرمیتی، مجموعه ای کامل از حالت های پایه دوبه‌دو متعامد بهنجار می سازند. عملگر در این ویژه پایه، قطری است و عناصر قطری همان ویژه مقادیرند. زمانی این مجموعه از پایه ها منحصر به فرد است که عملگر ویژه مقدارهای واگن (ویژه مقادیر تکراری) نداشته باشد. در صورتی که ویژه مقادیر واگن داشته باشد؛ بی نهایت ویژه پایه خواهیم داشت و منحصر به فرد نخواهد بود.
قضیه 3
هرگاه دو عملگر هرمیتی $\hat{A}$ و $\hat{B}$ جابجا شوند ($\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$) و همچنین $\hat{A}$ ویژه مقدار واگن نداشته باشد؛ آنگاه هر ویژه بردار $\hat{A}$، ویژه بردار $\hat{B}$ نیز هست. علاوه بر این می توان پایه متعامد بهنجار مشترکی ساخت که از ویژه بردارهای مشترک این دو عملگر ساخته شده باشد.
اثبات
به مسئله ویژه مقداری $\hat{A}$ باز می گردیم:
(10)
$\large \hat{A} |\phi_n \rangle = a_n | \phi_n \rangle$
از سمت چپ $\hat{B}$ را در معادله ضرب می کنیم و درنظر می گیریم که دو عملگر باهم جابجا می شوند:
(11)
$\large \hat{B} \hat{A} |\phi_n \rangle = \hat{B} a_n | \phi_n \rangle$
$\large \hat{A} (\hat{B} |\phi_n \rangle) =a_n (\hat{B} | \phi_n \rangle)$
رابطه بالا نتیجه می دهد که $\hat{B} | \phi_n \rangle$ نیز ویژه برداری برای عملگر $\hat{A}$ با ویژه مقدار $a_n$ است. چون در نظر گرفتیم که ویژه حالت واگن نیست؛ به ازای هر ویژه حالت تنها یک ویژه بردار وجود خواهد داشت؛ بنابراین $\hat{B} | \phi_n \rangle$ تنها می تواند ضریبی مانند $b_n$ از $ | \phi_n \rangle$ باشد. بدین ترتیب خواهیم داشت:
(12)
$\large \hat{B} |\phi_n \rangle = b_n | \phi_n \rangle$
بنابراین هر ویژه بردار $\hat{A}$ ویژه بردار $\hat{B}$ نیز هست و بالعکس. بنابراین هردو عملگر یک پایه مشترک منحصربه فرد دارند که از این ویژه بردارها ساخته شده و در آن هردو عملگر قطری خواهند بود. این قضیه برای هرتعداد عملگر هرمیتی که دوبه‌دو جابجا شوند برقرار است.
قضیه 4
ویژه مقدارهای یک عملگر پادهرمیتی، موهومی محض یا صفرند. این مورد اثباتی مشابه قضیه 1 دارد که در شرط $n=m$، به نتیجه $a_n = – a_n^*$ می رسیم که به عنوان تمرین دوم این فصل آوردم.
قضیه 5
ویژه مقدارهای یک عملگر یکانی، اعداد مختلطی اند که اندازه آن ها برابر با یک است. ویژه بردارهای عملگر یکانی که ویژه مقدارهای واگن ندارد؛ به صورت دوبه‌دو متعامدند.
اثبات
مسئله ویژه مقداری عملگر یکانی $\hat{U}$ به صورت زیر است:
(13)
$\large \hat{U} |\phi_n \rangle = a_n | \phi_n \rangle$
الحاقی هرمیتی رابطه بالا با اندیس متفاوت را در نظر می گیریم:
(14)
$\large \langle \phi_m | \hat{U}^{\dagger} = a_m^* \langle \phi_m |$
دو طرف تساوی (14) را در (13) اعمال می کنیم ($\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{I}$):
(15)
$\large \langle \phi_m | \phi_n \rangle = a_m^* a_n \langle \phi_m | \phi_n \rangle$
که به صورت رابطه زیر قابل بازنویسی است:
(16)
$\large (a_m^* a_n – 1) \langle \phi_m | \phi_n \rangle = 0$
در حالت $n=m$، مشابه قبل $\langle \phi_n |\phi_n \rangle > 0$ است؛ بنابراین باید پرانتز صفر باشد. از این رو باید $a_n^* a_n = 1$ برقرار باشد که نتیجه می دهد $|a_n|=1$.
در حالت $n \neq m$، باید $\langle \phi_m |\phi_n \rangle = 0$ برقرار باشد که نشان دهنده متعامد بودن ویژه بردارهاست.
4-37 جمع بندی فصل
با ویژه مقدار و ویژه بردار یک عملگر، مسائل ویژه مقداری، خواص آن و چند قضیه مهم در این مسائل آشنا شدیم.
| تمرینات فصل |
*1- رابطه (6) را اثبات نمایید.
*2- قضیه 4 را اثبات کنید.
ترتیب فصل |
قبلی |
فعلی |
بعدی |
عنوان |
72 عملگر وارون و عملگر یکانی |
73 ویژه مقدار و ویژه بردار عملگر |
74 تبدیل های یکانی |
