در این فصل به بررسی توابع عملگرهای کوانتومی می پردازیم.

1-71 تعریف

فرض کنید که $F(\hat{A})$ تابعی از عملگر $\hat{A}$ باشد. در صورتی که $\hat{A}$ عملگری خطی باشد (توزیع پذیر باشد و با عددهای ثابت جابجا شود)؛ آنگاه می توان $F(\hat{A})$ را با بسط تیلور، به شکل یک سری توانی نوشت:

(1)

$\large F(\hat{A})= \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n \hat{A}^n}$

که در رابطه بالا، $a_n$ ضرایب بسطند. یک مثال مهم از توابع عملگری، تابع نمایی طبیعی است که بسط تیلور آن بصورت زیر است:

(2)

$e^{a\hat{A}} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\hat{A}^n}=\hat{I}+a\hat{A}+\displaystyle{\frac{a^2}{2!}\hat{A}^2}+…$

که در رابطه بالا $a$ اسکالری حقیقی یا مختلط است. همچنین $\hat{A}^0=\hat{I}$ نیز برقرار است.

2-71 جابجاگر شامل تابع عملگری

از رابطه (1) بدست می آید که اگر عملگر $\hat{A}$ با عملگر $\hat{B}$ جابجا شود؛ آنگاه هر تابع عملگری $\hat{A}$ مانند $F(\hat{A})$ با $\hat{B}$ جابجا می شود:

(3)

$\large [\hat{A},\hat{B}]=0 \; \Rightarrow \; [F(\hat{A}),\hat{B}]=0$

باز هم به کمک رابطه (1)، می توان تحقیق کرد که $\hat{A}$ با هر تابعی از خود جابجا می شود و هر دو تابع دلخواهی مانند $F(\hat{A})$ و $G(\hat{A})$ نیز باهم جابجا می شوند:

(4)

$[\hat{A},F(\hat{A})]=0 \; , \; [\hat{A}^n ,F(\hat{A})]=0 ,$

$[F(\hat{A}),G(\hat{A})]=0$

3-71 الحاقی هرمیتی تابع عملگری

الحاقی هرمیتی $F(\hat{A})$ از رابطه زیر بدست می آید:

(5)

$\large (F(\hat{A}))^\dagger = F^{*}(\hat{A}^\dagger) = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a^*_n (\hat{A}^\dagger)^n}$

در صورتی که اگر $\hat{A}$ هرمیتی باشد؛ $F(\hat{A})$ لزوما هرمیتی نیست. تابع زمانی هرمیتی است که هم $\hat{A}$ هرمیتی باشد هم تابع حقیقی باشد (ضرایب بسط رابطه (1) حقیقی باشند):

(6)

$ F^{*}(\hat{A}^\dagger) = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a^*_n (\hat{A}^\dagger)^n}=$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n (\hat{A})^n}=F(\hat{A})$

*مثال 71-1)

الحاقی هرمیتی $e^{(ia\hat{A})}$ را بدست می آورید. $a$ یک عدد مختلط است.

پاسخ

از رابطه (2) و (5) داریم:

$(e^{(ia\hat{A})})^\dagger=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty (-i)^n \frac{(a^*)^n}{n!} (\hat{A}^\dagger)^n}$

که با توجه به رابطه (2) یا بسط تیلور تابع نمایی، آشکارا عبارت بالا به صورت زیر قابل بازنویسی است:

$\large (e^{(ia\hat{A})})^\dagger=e^{(-ia^*\hat{A}^\dagger)}$

---

4-71 روابط عملگرهای تابعی

حتما توجه داشته باشید که در حالت کلی:

(7)

$\large e^{\hat{A}} e^{\hat{B}} \neq e^{\hat{A}+\hat{B}}$

عبارت بالا تنها در صورتی تبدیل به تساوی می شود که دو عملگر با یکدیگر جابجا شوند ($[\hat{A},\hat{B}]=0$). در صورتی که دو عملگر با جابجاگر دو عملگر جابجا شوند ($[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]=[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]=0$)، رابطه زیر برقرار است:

(8)

$\large e^{\hat{A}} e^{\hat{B}} = e^{\hat{A}+\hat{B}} e^{\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]}$

معادل سمت چپ تساوی روابط (7) و (8) در حالت کلی، رابطه بیکر-کمپبل-هاسدورف است.

دیگر رابطه کاربردی، رابطه زیر است که از رابطه (2) قابل تحقیق می باشد:

(9)

$e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}}=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\displaystyle{\frac{1}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]}$

$\displaystyle{+\frac{1}{3!}[\hat{A},[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]]}+…$

**مثال 71-2)

سه جمله اول رابطه (9) را بدست آورید.

پاسخ

از رابطه (2) استفاده می کنیم:

$e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}}= \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{\hat{A}^n}{n!}}\hat{B}\displaystyle{\sum_{m=0}^\infty(-1)^m \frac{\hat{A}^m}{m!}}=$

$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty (-1)^m\frac{\hat{A}^n\hat{B}\hat{A}^m}{n!m!}}$

حال باید برای محاسبه دو جمع به جای $n$ و $m$ عدد بگذاریم. برای اینکار بهتر است به ترتیب $n+m=0,1,2,…$، این عدد گذاری را انجام دهیم. برای مثال، $n+m=2$ دارای سه حالت $n=m=1$ و $n=2,m=0$ و $m=2,n=0$ است. جملات حاصل بصورت زیر است:

$=\hat{B}+\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} – \hat{A}\hat{B}\hat{A}$

$+\hat{A}\hat{A}\hat{B}/2 +\hat{B}\hat{A}\hat{A}/2+…$

از عبارت بالا، جملات زیر نتیجه می شود:

$=\hat{B} + [\hat{A},\hat{B}] + \displaystyle{\frac{1}{2!}}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+…$

این همان سه جمله اول رابطه (9) است.

---

5-71 جمع بندی فصل

در این فصل به توابع عملگر های کوانتومی پرداختیم. همچنین جابجاگر شامل تابع، الحاقی هرمیتی آن و روابط مشهور عملگرها را بررسی کردیم.

 

تمرینات فصل

*1- درستی گزاره های (3) و (4) را بوسیله رابطه (1) نمایش دهید.

*2- در صورتی که جابجاگر دو عملگر، برابر با ضریب اسکالری از $\hat{I}$ (عملگر یکه) باشد. بررسی کنید که رابطه بیکر-کمپبل-هاسدورف چگونه خواهد بود.

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	70 عدم قطعیت	71 تابع عملگرهای کوانتومی	72 عملگر وارون و عملگر یکانی