70 عدم قطعیت

از کاربردهای جبر جابجاگر، محاسبه رابطه کلی برای حاصل ضرب عدم قطعیت های دو عملگر دلخواه است. رابطه ای که روابط عدم قطعیت هایزنبرگ را نتیجه می دهد.

1-70 تعریف

مقدار چشمداشتی عملگرهای هرمیتی $\hat{A}$ و $\hat{B}$، نسبت به بردار حالت بهنجار $| \psi \rangle $ به صورت زیر است:

(1)

$\large \langle \hat{A} \rangle=\langle \psi |\hat{A}| \psi \rangle \; , \; \langle \hat{B} \rangle=\langle \psi |\hat{B}| \psi \rangle$

عملگرهای $\Delta \hat{A}$ و $\Delta \hat{B}$ را این طور تعریف می کنیم:

(2)

$\large \Delta\hat{A}= \hat{A}-\langle \hat{A} \rangle \; , \; \Delta\hat{B}= \hat{B}-\langle \hat{B} \rangle $

توجه کنید که مقدار چشمداشتی یک اسکالر است؛ بنابراین مربع عملگرهای بالا عبارت پایین است:

(3)

$\large (\Delta\hat{A})^2=\hat{A}^2-2\hat{A}\langle \hat{A} \rangle+\langle \hat{A} \rangle^2$

$\large (\Delta\hat{B})^2=\hat{B}^2-2\hat{B}\langle \hat{B} \rangle+\langle \hat{B} \rangle^2$

حال مقدار چشمداشتی (نسبت به بردار حالت بهنجار $| \psi \rangle $) عملگرهای بالا را بدست می آورم:

(4)

$\langle (\Delta\hat{A})^2 \rangle = \langle \hat{A}^2 \rangle – 2 \langle \hat{A} \langle \hat{A} \rangle \rangle + \langle \langle \hat{A} \rangle^2 \rangle$

$\langle (\Delta\hat{B})^2 \rangle = \langle \hat{B}^2 \rangle – 2 \langle \hat{B} \langle \hat{B} \rangle \rangle + \langle \langle \hat{B} \rangle^2 \rangle$

بازهم یادآوری می کنم که مقدار چشمداشتی اسکالری بیش نیست و می تواند از $\langle \rangle$ خارج شود؛ بنابراین در جمله دوم سمت راست تساوی ها، مربع مقدار چشمداشتی ظاهر می شود:

(5)

$\langle (\Delta\hat{A})^2 \rangle = \langle \hat{A}^2 \rangle – 2 \langle \hat{A} \rangle^2 + \langle \hat{A} \rangle^2 \langle \psi | \psi \rangle $

$\langle (\Delta\hat{B})^2 \rangle = \langle \hat{B}^2 \rangle – 2 \langle \hat{B} \rangle^2 + \langle \hat{B} \rangle^2 \langle \psi | \psi \rangle $

چون بردار حالت بهنجار اختیار کردیم $\langle \psi | \psi \rangle=1$ پس:

(6)

$\large \langle (\Delta\hat{A})^2 \rangle = \langle \hat{A}^2 \rangle – \langle \hat{A} \rangle^2$

$\large \langle (\Delta\hat{B})^2 \rangle = \langle \hat{B}^2 \rangle – \langle \hat{B} \rangle^2$

به جذر عبارت های بالا، به ترتیب، عدم قطعیت عملگر های $A$ و $B$ گوییم (عدم قطعیت ها با عملگرهای رابطه (2) دارای تفاوتند):

(7)

$\large \Delta A =\sqrt{ \langle \hat{A}^2 \rangle – \langle \hat{A} \rangle^2 }$

$\large \Delta B =\sqrt{ \langle \hat{B}^2 \rangle – \langle \hat{B} \rangle^2 }$

2-70 رابطه عدم قطعیت

برای محاسبه رابطه عدم قطعیت، نخستین گام بررسی تاثیر عملگرهای رابطه (2) بر $| \psi \rangle $ خواهد بود:

(8)

$\large | \chi \rangle = \Delta \hat{A} | \psi \rangle=(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\; | \psi \rangle$

$\large | \phi \rangle = \Delta \hat{B} | \psi \rangle=(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\; | \psi \rangle$

با توجه به اینکه $\hat{A}$ و $\hat{B}$ هرمیتی اند و مقدارچشمداشتی عملگر هرمیتی، حقیقی است؛ $\Delta \hat{A}$ و $\Delta \hat{B}$ نیز هرمیتی خواهند بود:

(9)

$\large (\Delta \hat{A})^\dagger=\hat{A}^\dagger – \langle \hat{A} \rangle^* = \hat{A} – \langle \hat{A} \rangle=\Delta \hat{A}$

$\large (\Delta \hat{B})^\dagger=\hat{B}^\dagger – \langle \hat{B} \rangle^* = \hat{B} – \langle \hat{B} \rangle=\Delta \hat{B}$

بنابراین سه رابطه زیر برقرار است:

(10)

$\large \langle \chi | \chi \rangle=\langle \psi | (\Delta \hat{A})^2 | \psi \rangle$

$\large \langle \phi | \phi \rangle=\langle \psi | (\Delta \hat{B})^2 | \psi \rangle$

$\large \langle \chi | \phi \rangle = \langle \psi | (\Delta \hat{A})(\Delta \hat{B}) | \psi \rangle$

از فصل 62 رابطه 6 ، نامساوی شوارتز را بخاطر داریم:

(11)

با توجه به رابطه (10) و (11)، نامساوی شوارتز را برای مسئله خودمان بازنویسی می کنیم:

(12)

$\large \langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq |\langle (\Delta \hat{A})(\Delta \hat{B}) \rangle|^2$

یک راهبرد کارآمد، نوشتن $\Delta \hat{A} \Delta \hat{B}$ به شکل زیر است که برقراری آن به سادگی قابل تحقیق خواهد بود:

(13)

$\Delta \hat{A}\Delta \hat{B}=\displaystyle{\frac{1}{2}[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]+\frac{1}{2}\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}}$

همچنین دیگر رابطه ای که به سادگی دستیابی است: $[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]=[\hat{A},\hat{B}]$، می دانیم که $[\hat{A},\hat{B}]$ پادهرمیتی است و $\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}$ هرمیتی. همچنین مقدار چشمداشتی عملگر هرمیتی، حقیقی است و مقدار چشمداشتی عملگر پادهرمیتی، موهومی است. بنابراین حساب $|\langle (\Delta \hat{A})(\Delta \hat{B}) \rangle|^2$ سرراست است:

(14)

$\small |\langle (\Delta \hat{A})(\Delta \hat{B}) \rangle|^2=\displaystyle{\frac{1}{4}|\langle[ \hat{A},\hat{B}]\rangle|^2+ \frac{1}{4}|\langle\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}\rangle|^2}$

با توجه به اینکه جمله دوم سمت راست تساوی همواره مثبت است؛ جمله اول لزوما از سمت چپ تساوی کوچکتر است. بنابراین می توان نامساوی (12) را به صورت زیر بازنویسی کرد:

(15)

$\large \langle (\Delta \hat{A})^2 \rangle \langle (\Delta \hat{B})^2 \rangle \geq \displaystyle{\frac{1}{4}|\langle[ \hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2}$

بنابراین نامساوی ارزشمند عدم قطعیت دو عملگر، با جذر از نامساوی رابطه بالا بدست می آید:

(16)

$ \large \Delta A \Delta B \geq \displaystyle{\frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B}]\rangle|}$

رابطه بالا نقش اساسی در صورت بندی مکانیک کوانتومی ایفا می کند. بهره بردن از این رابطه برای عملگرهای مکان و تکانه، ما را به روابط عدم قطعیت هایزنبرگ سوق می دهد که از روابط اساسی مکانیک کوانتومی است.

3-70 عدم قطعیت هایزنبرگ

رابطه (16) را برای دو عملگر $\hat{X}$ و $\hat{P}_x$ محاسبه می کنیم؛ از فصل قبل می دانیم که:

(17)

$\large [\hat{X},\hat{P}_x]=i\hbar\hat{I}$

بنابراین رابطه (16) برای دو عملگر مکان و تکانه، شکل زیر را به خود می گیرد$|i\hbar|=\hbar$:

(18)

$\large \Delta x \Delta p_x \geq \displaystyle{\frac{\hbar}{2}}$

برای عدم تداخل با عملگر ترجیح دادم از اسامی کوچک برای عدم قطعیت مکان و تکانه استفاده کنم. نتیجه به طور مشابه برای مولفه های دیگر نیز قابل محاسبه است:

(19)

$\large \Delta y \Delta p_y \geq \displaystyle{\frac{\hbar}{2}} \; , \; \Delta z \Delta p_z \geq \displaystyle{\frac{\hbar}{2}}$

4-70 جمع بندی فصل

رابطه عدم قطعیت را بدست آوردیم و اصل عدم قطعیت هایزنبرگ نیز از آن استخراج شد.

تمرینات فصل

*1- در متن این فصل، اثبات هایی را انجام نداده ام که خوب است برای درک بهتر مطلب اثبات شود.

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	69 جابجاگر	70 عدم قطعیت	71 تابع عملگرهای کوانتومی

قدرت گرفته از ساینسیو

Saturn Science