در این فصل به جبر جابجاگر (Commutator Algebra) می پردازیم.

1-69 تعریف

جابجاگر دو عملگر $\hat{A}$ و $\hat{B}$ با $[\hat{A},\hat{B}]$ نمایش داده می شود. جابجاگر به صورت زیر تعریف می شود:

(1)

$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$

پادجابجاگر (Anticommutator) $\{\hat{A},\hat{B}\}$ نیز به صورت زیر تعریف می شود:

(2)

$\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$

2-69 عملگرهای جابجاپذیر

هنگامی به دو عملگر جابجاپذیر می گوییم که جابجاگر این دو صفر باشد. به این ترتیب $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$ خواهد بود. هرعملگر با خودش جابجا می شود $[\hat{A},\hat{A}]=0$.

این نکته حائز اهمیت است: هرگاه دو عملگر هرمیتی باشند و حاصل ضرب آنها نیز هرمیتی باشد؛ دو عملگر باهم جابجا می شوند:

(3)

$\hat{A}\hat{B}=(\hat{A}\hat{B}{)}^{†}={\hat{B}}^{†}{\hat{A}}^{†}=\hat{B}\hat{A}$

*مثال 69-1)

عملگرهای مکان $\hat{X}$ و تکانه ${\hat{P}}_x$ به صورت زیر تعریف می شود:

(4)

$\hat{X}=x,{\hat{P}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$

حابجاگر $[\hat{X},{\hat{P}}_x]$ را بدست آورید.

پاسخ

برای محاسبه جابجاگر عملگرها، همواره خوب است یک تابع آزمون $f$ را جلوی جابجاگر قرار دهیم تا عملگرها بر روی آن اثر کنند:

$[\hat{X},{\hat{P}}_x]f=-i\hslash (x\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial xf}{\partial x})$

قاعده زنجیره ای در مشتق برای جمله دوم:

$=-i\hslash (x\frac{\partial f}{\partial x}-x\frac{\partial f}{\partial x}-f)=i\hslash f$

حال می توانیم تابع آزمون را نادیده بگیریم و نتیجه را با ضرب در یک عملگر یکه (برای موازنه عملگر بودن دو طرف تساوی) بنویسیم:

(5)

$[\hat{X},{\hat{P}}_x]=i\hslash \hat{I}$

این رابطه برای دیگر مولفه ها نیز برقرار است. (تمرین 69-1 به بررسی جابجایی عملگر مولفه های متفاوت مکان و تکانه می پردازد):

(6)

$[\hat{Y},{\hat{P}}_y]=i\hslash \hat{I},[\hat{Z},{\hat{P}}_z]=i\hslash \hat{I}$

---

3-69 خواص جابجاگرها

خواص جابجاگرها اثبات پیچیده ای ندارند و با نوشتن تعریف جابجاگر و اندکی خلاقیت قابل دستیابی اند. تعدادی از آنها را فهرست می کنم:

پادتقارن : تغییر جای عملگرها در جابجاگر، به اندازه یک علامت منفی هزینه دارد:

(7)

$[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$

خطی بودن:

(8)

$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}+\dots ]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]+\dots$

الحاقی هرمیتی جابجاگر:

(9)

$[\hat{A},\hat{B}{]}^{†}=[{\hat{B}}^{†},{\hat{A}}^{†}]$

توزیع پذیری:

(10)

$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$

(11)

$[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$

اثبات (10)

جابجاگر سمت چپ تساوی (10) را حساب کرده، سپس یک $\hat{B}\hat{A}\hat{C}$ اضافه و کم می کنم. در نهایت از عملگرهای خارج از جابجاگر سمت راست تساوی (10) فاکتور می گیرم:

$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}$

$=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{A}\hat{C}+\hat{B}\hat{A}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$

رابطه (11) نیز به طریقی مشابه اثبات می شود که موضوع تمرین 69-2 است.

---

جابجایی عملگر و اسکالر : عملگرها و اسکالرها همواره با یکدیگر جابجا می شوند. برای عملگر دلخواه $\hat{A}$ و اسکالر دلخواه $b$ داریم:

(12)

$[\hat{A},b]=0$

*مثال 69-2)

ثابت کنید که جابجاگر دو عملگر هرمیتی، همواره یک عملگر پادهرمیتی است.

پاسخ

برای دو عملگر هرمیتی $\hat{A}$ و $\hat{B}$، مطابق رابطه (9) در نظر بگیرید:

$[\hat{A},\hat{B}{]}^{†}=[{\hat{B}}^{†},{\hat{A}}^{†}]=[\hat{B},\hat{A}]$

از خاصیت پادتقارنی جابجاگر (رابطه (7)) داریم:

$[\hat{B},\hat{A}]=-[\hat{A},\hat{B}]$

با توجه به اینکه الحاقی هرمیتی عملگر جابجاگر، برابر با قرینه عملگر جابجاگر شده؛ بنابراین جابجاگر دو عملگر هرمیتی همواره پادهرمیتی است.

---

4-69 جمع بندی فصل

با جابجاگر و خواص آن آشنا شدیم. تمرینات این فصل در آشنایی بیشتر شما با جبرجابجاگرها بسیار موثر است.

 

تمرینات فصل

*1- ثابت کنید رابطه زیر برقرار است:

(13)

$[\hat{Y},{\hat{P}}_x]=0$

واضح است که هر دو مولفه متفاوتی برای عملگر مکان و عملگر تکانه نتیجه بالا را درپی خواهد داشت.

*2- رابطه (11) را اثبات کنید.

*3- برقراری تساوی زیر را اثبات نمایید:

(14)

$[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]=0$

رابطه (14)، اتحاد ژاکوبی نام دارد.

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	68 عملگر تصویر	69 جابجاگر	70 عدم قطعیت