1-68 تعریف

عملگر تصویر (projection operator)، عملگری هرمیتی است که با مجذور (مربع) خود برابر است. دو شرط زیر به طور کامل عملگر تصویر $\hat{P}$ را توصیف می کند:

(1)

$\large \hat{P}^\dagger = \hat{P} \; , \; \hat{P}^2=\hat{P}$

عملگر یکه $\hat{I}$ نمونه ساده ای از عملگرهای تصویر است. زیرا هم توان دوی آن با خودش برابر است و هم هرمیتی می باشد.

2-68 خواص عملگر تصویر

• ضرب عملگرهای تصویر، در صورتی که جابجاپذیر باشند، نیز یک عملگر تصویر است. عملگرهای تصویر $\hat{P_1}$ و $\hat{P_2}$ که باهم جابجا می شوند را در نظر بگیرید:

(2)

$\large (\hat{P_1}\hat{P_2})^\dagger=\hat{P_2}^\dagger\hat{P_1}^\dagger=\hat{P_2}\hat{P_1}=\hat{P_1}\hat{P_2}$

$(\hat{P_1}\hat{P_2})^2=\hat{P_1}\hat{P_2}\hat{P_1}\hat{P_2}=\hat{P_1}^2\hat{P_2}^2=\hat{P_1}\hat{P_2}$

• به صورت کلی، جمع دو عملگر تصویر، یک عملگر تصویر نیست.
• هرگاه ضرب دو عملگر تصویر صفر باشد؛ به آن دو عملگر، متعامد می گوییم.
• برای این که جمع عملگرهای تصویر، عملگر تصویر دیگری باشد؛ باید عملگرهای تصویر دوبه‌دو متعامد باشند. به عنوان نمونه، برای جمع دو عملگر تصویر متعامد داریم:

(3)

$\large (\hat{P_1}+\hat{P_2})^\dagger=\hat{P_1}^\dagger+\hat{P_2}^\dagger=\hat{P_1}+\hat{P_2}$

$(\hat{P_1}+\hat{P_2})^2=\hat{P_1}^2+\hat{P_2}^2+\hat{P_1}\hat{P_2}+\hat{P_2}\hat{P_1}$

$=\hat{P_1}^2+\hat{P_2}^2=\hat{P_1}+\hat{P_2}$

نتیجه بالا به سادگی به تعداد بیشتر عملگرها نیز قابل تعمیم است.

*مثال 68-1)

نشان دهید عملگر $| \psi \rangle \langle \psi |$ تنها در صورتی یک عملگر تصویر است که $| \psi \rangle$ بهنجار باشد.

پاسخ

واضح است که عملگر $| \psi \rangle \langle \psi |$ هرمیتی است:

$\large (| \psi \rangle \langle \psi |)^\dagger = | \psi \rangle \langle \psi |$

حال بررسی می کنیم که مجذور عملگر چه عبارتی است:

$(| \psi \rangle \langle \psi |)^2 = (| \psi \rangle \langle \psi |)(| \psi \rangle \langle \psi |)=| \psi \rangle \langle \psi | \psi \rangle \langle \psi |$

تنها در صورتی که $\langle \psi | \psi \rangle=1$ برقرار باشد؛ عملگر با مجذورش برابر است و در نتیجه یک عملگر تصویر خواهد بود.

3-68 جمع بندی فصل

در این فصل با عملگرهای تصویر و خواص آنها آشنا شدیم. یک تمرین ساده نیز برای بررسی مثال 68-1، پایین تر آورده ام.

*1- در این تمرین با عملگرها، کت ها و براها، همانند ماتریس، بردار ستونی و برداری سطری رفتار کنید. عملگر تصویر بودن $| \psi \rangle \langle \psi |$ را با بردار حالت بهنجار زیر بررسی کنید.

$\large | \psi \rangle = \displaystyle{\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}} $