1-68 تعریف

عملگر تصویر (projection operator)، عملگری هرمیتی است که با مجذور (مربع) خود برابر است. دو شرط زیر به طور کامل عملگر تصویر $\hat{P}$ را توصیف می کند:

(1)

${\hat{P}}^{†}=\hat{P},{\hat{P}}^2=\hat{P}$

عملگر یکه $\hat{I}$ نمونه ساده ای از عملگرهای تصویر است. زیرا هم توان دوی آن با خودش برابر است و هم هرمیتی می باشد.

2-68 خواص عملگر تصویر

• ضرب عملگرهای تصویر، در صورتی که جابجاپذیر باشند، نیز یک عملگر تصویر است. عملگرهای تصویر $\widehat{P_1}$ و $\widehat{P_2}$ که باهم جابجا می شوند را در نظر بگیرید:

(2)

$(\widehat{P_1}\widehat{P_2}{)}^{†}={\widehat{P_2}}^{†}{\widehat{P_1}}^{†}=\widehat{P_2}\widehat{P_1}=\widehat{P_1}\widehat{P_2}$

$(\widehat{P_1}\widehat{P_2}{)}^2=\widehat{P_1}\widehat{P_2}\widehat{P_1}\widehat{P_2}={\widehat{P_1}}^2{\widehat{P_2}}^2=\widehat{P_1}\widehat{P_2}$

• به صورت کلی، جمع دو عملگر تصویر، یک عملگر تصویر نیست.
• هرگاه ضرب دو عملگر تصویر صفر باشد؛ به آن دو عملگر، متعامد می گوییم.
• برای این که جمع عملگرهای تصویر، عملگر تصویر دیگری باشد؛ باید عملگرهای تصویر دوبه‌دو متعامد باشند. به عنوان نمونه، برای جمع دو عملگر تصویر متعامد داریم:

(3)

$(\widehat{P_1}+\widehat{P_2}{)}^{†}={\widehat{P_1}}^{†}+{\widehat{P_2}}^{†}=\widehat{P_1}+\widehat{P_2}$

$(\widehat{P_1}+\widehat{P_2}{)}^2={\widehat{P_1}}^2+{\widehat{P_2}}^2+\widehat{P_1}\widehat{P_2}+\widehat{P_2}\widehat{P_1}$

$={\widehat{P_1}}^2+{\widehat{P_2}}^2=\widehat{P_1}+\widehat{P_2}$

نتیجه بالا به سادگی به تعداد بیشتر عملگرها نیز قابل تعمیم است.

*مثال 68-1)

نشان دهید عملگر $|\psi ⟩⟨\psi |$ تنها در صورتی یک عملگر تصویر است که $|\psi ⟩$ بهنجار باشد.

پاسخ

واضح است که عملگر $|\psi ⟩⟨\psi |$ هرمیتی است:

$(|\psi ⟩⟨\psi |{)}^{†}=|\psi ⟩⟨\psi |$

حال بررسی می کنیم که مجذور عملگر چه عبارتی است:

$(|\psi ⟩⟨\psi |{)}^2=(|\psi ⟩⟨\psi |)(|\psi ⟩⟨\psi |)=|\psi ⟩⟨\psi |\psi ⟩⟨\psi |$

تنها در صورتی که $⟨\psi |\psi ⟩=1$ برقرار باشد؛ عملگر با مجذورش برابر است و در نتیجه یک عملگر تصویر خواهد بود.

3-68 جمع بندی فصل

در این فصل با عملگرهای تصویر و خواص آنها آشنا شدیم. یک تمرین ساده نیز برای بررسی مثال 68-1، پایین تر آورده ام.

*1- در این تمرین با عملگرها، کت ها و براها، همانند ماتریس، بردار ستونی و برداری سطری رفتار کنید. عملگر تصویر بودن $|\psi ⟩⟨\psi |$ را با بردار حالت بهنجار زیر بررسی کنید.

$|\psi ⟩={\displaystyle \left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]}$