الحاقی هرمیتی یا مزدوج هرمیتی (Hermitian adjoint or conjugate) عملگر، موضوع بحث من در این فصل است.

1-67 تعریف

الحاقی هرمیتی هر چیز را با نماد $\dagger$ در بالا سمت راست آن نمایش می دهیم. الحاقی هرمیتی یک عدد مختلط دلخواه مانند $a$، برابر با مزدوج مختلط آن عدد است:

(1)

$\large a^\dagger = a^*$

الحاقی هرمیتی یک عملگر اما لزوما برابر با مزدوج مختلط عملگر نیست. $\hat{A}^{\dagger} \neq \hat{A}^{*}$ الحاقی هرمیتی عملگر $\hat{A}$، به صورت زیر تعریف می شود:

(2)

$\large \langle \psi | A^{\dagger} | \phi \rangle = \langle \phi | A | \psi \rangle^*$

در نمایش ماتریسی، الحاقی هرمیتی هر ماتریس، به این صورت بدست می آید که ابتدا ترانهاده ماتریس را می نویسیم؛ سپس از تمامی درایه های ماتریس مزدوج مختلط می گیریم. بنابراین کت و برای یک بردارحالت خاص، الحاقی هرمیتی یکدیگرند.

2-67 خواص قاعده الحاقی هرمیتی

برای محاسبه الحاقی هرمیتی هرعبارت، نخست در صورتی که ضرب اشیاء (چه بردارحالت چه عملگر) درکار باشد؛ باید ترتیب تمامی اشیاء را معکوس کنیم. سپس هر عدد مختلط به مزدوج مختلط خود، هر برا به کت، هر کت به برا و در نهایت هر عملگر به عملگر الحاقی خود تبدیل شوند. عبارت زیر بیشتر این مسئله را موشکافی می کند:

(3)

$\large (A^\dagger)^\dagger = A$

(4)

$\large (aA^\dagger)^\dagger = a^*A^\dagger$

(5)

$\large (A^n)^\dagger = (A^\dagger)^n$

(6)

$\large (\hat{A}+\hat{B}+\hat{C})^\dagger = \hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger+\hat{C}^\dagger$

(7)

$\large (\hat{A}\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger$

(8)

$\large (\hat{A}\hat{B}\hat{C}| \psi \rangle)^\dagger = \langle \psi | \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger$

همچنین مزدوج هرمیتی عملگر $| \psi \rangle \langle \phi |$ نیز به صورت زیر، با خواص بالا قابل محاسبه است.

(9)

$\large (| \psi \rangle \langle \phi |)^\dagger = | \phi \rangle \langle \psi |$

عملگرها به ترتیب درون کت و برا به صورت زیر عمل می کنند:

(10)

$\large |a \hat{A} \psi \rangle = a \hat{A} | \psi \rangle$

(11)

$\large \langle a \hat{A} \phi | = a^* \langle \phi | \hat{A}^{\dagger}$

از عبارات (10) و (11)، می توان نتیجه مشهور دیگری در مورد عملگر الحاقی گرفت که در محاسبه الحاقی عملگرها بسیار کارآمد است:

(12)

$\large \langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle A^{\dagger} \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \hat{A} \psi \rangle$

3-67 عملگر هرمیتی و پادهرمیتی

به عملگری هرمیتی گفته می شود که الحاقی هرمیتی آن با خودش برابر باشد:

(13)

$\large \hat{A} = \hat{A}^\dagger$

همچنین به عملگری پادهرمیتی گفته می شود که با قرینه الحاقی هرمیتی خود برابر باشد:

(14)

$\large \hat{B} = -\hat{B}^\dagger$

*مثال 67-1)

هرمیتی بودن عملگرهای زیر را بررسی کنید. $\hat{A}$ یک عملگر دلخواه است و لزوما هرمیتی نیست.

$\large A+A^\dagger \; , \; i(A+A^\dagger) \; , \; -i(A-A^\dagger)$

پاسخ

مطابق رابطه (6) هرمیتی بودن اولین عملگر از سمت چپ واضح است:

$\large (A+A^\dagger)^\dagger=A^\dagger+A$

دومین عملگر پادهرمیتی است. می توان صحت این گزاره را به صورت زیر بررسی کرد:

$\large (i(A+A^\dagger))^\dagger=-i(A^\dagger+A)$

سومین عملگر نیز هرمیتی است:

$(-i(A-A^\dagger))^\dagger=+i(A^\dagger-A)=-i(A-A^\dagger)$

---

*مثال 67-2)

نشان دهید که مقدار چشمداشتی هر عملگر هرمیتی، همواره حقیقی است و مقدار چشمداشتی هر عملگر پادهرمیتی، همواره موهومی محض است.

پاسخ

با توجه به تعریف مقدار چشمداشتی و رابطه (2)، مقدار چشمداشتی هر عملگر هرمیتی همواره حقیقی است؛ زیرا تنها مزدوج مختلط اعداد حقیقی باهم برابر است ($\phi$ را با $\psi$ جایگذاری کردم تا تعریف مقدار چشمداشتی بدست آید):

$\large \langle \psi | A | \psi \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle^*$

همچنین اگر عملگری پادهرمیتی باشد، مطابق رابطه (2)، یک عدد تنها در صورتی قرینه مزدوج مختلط خود است که موهومی محض بوده و بخش حقیقی نداشته باشد:

$\large -\langle \psi | A | \psi \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle^*$

---

4-67 جمع بندی فصل

با الحاقی هرمیتی یک عملگر، خواص آن و عملگرهای هرمیتی و پادهرمیتی آشنا شدیم.

شکل 67-1، شارل هرمیت (1901-1822)

 

تمرینات فصل

*1- مزدوج هرمیتی عملگر $(\hat{F}+3i\hat{F}^\dagger)(-2\hat{F}+4\hat{F}^\dagger)$ را بدست آورید. $\hat{F}$ یک عملگر دلخواه است.

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	66 عملگر : مقدمه	67 عملگر : الحاقی هرمیتی	68 عملگر تصویر