یکی از مفاهیم بنیادی در صورت بندی مکانیک کوانتومی، عملگر است. در این فصل با تعریف عملگر و چند عملگر خاص که در مکانیک کوانتوم کاربرد دارند؛ آشنا می شویم.

1-66 تعریف

عملگر قاعده ای ریاضی است که اگر بر یک بردارحالت کت اعمال شود، کت دیگری نتیجه می دهد و اگر بر یک برا اعمال شود؛ برایی دیگر حاصل می شود. در فضای گسسته و نمایش ماتریسی، معمولا عملگرها را با ماتریس های مربعی نمایش می دهیم. همچنین اغلب عملگرها در مکانیک کوانتومی، با حروف بزرگ لاتین نامگذاری می شوند و گاها یک کلاه بر سردارند. عملگر $\hat{A}$ را در نظر بگیرید:

(1)

$\large \hat{A}|\psi \rangle=|\psi’ \rangle\; , \; \langle \phi|\hat{A}=\langle \phi’|$

اگر عملگر $\hat{A}$ یک ماتریس مربعی با مرتبه ای برابر با تعداد درایه های بردارهای حالت (چه کت و چه برا) باشد؛ تنها درصورتی بالا ضرب ماتریسی قابل تعریف است.

به طور مشابه تعریف بالا برای توابع موج نیز به کار می رود:

(2)

$\large \hat{A}\psi(\vec{r})=\psi'(\vec{r})\; , \; \phi(\vec{r})\hat{A}=\phi'(\vec{r})$

2-66 چند عملگر خاص

عملگر یکه $\hat{I}$، عملگری که در صورت اثر بر کت، همان کت را نتیجه می دهد:

(3)

$\large \hat{I}|\psi \rangle=|\psi \rangle$

عملگر گرادیان $\nabla$، از تابع موج، مشتق پاره ای بر حسب مولفه های فضا می گیرد و یک بردار خروجی می دهد.

(4)

$\nabla \psi(\vec{r})=\displaystyle{\frac{\partial \psi(\vec{r})}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial \psi(\vec{r})}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial \psi(\vec{r})}{\partial z}\hat{k}}$

در رابطه بالا، $\hat{j}$، $\hat{i}$ و $\hat{k}$ بردارهای یکه فضایی در جهت سه محور مختصات هستند. آن ها را با عملگر اشتباه نگیرید.

عملگر تکانه خطی $\hat{P}$، به صورت زیر تعریف می شود:

(5)

$\large \hat{P}\psi(\vec{r})=-i\hbar \nabla \psi(\vec{r})$

عملگر لاپلاسی $\nabla^2$، مجموع مشتقات پاره ای مرتبه دوم تابع موج است:

(6)

$\nabla^2 \psi(\vec{r})=\displaystyle{\frac{\partial^2 \psi(\vec{r})}{\partial x^2}\hat{i}+\frac{\partial^2 \psi(\vec{r})}{\partial y^2}\hat{j}+\frac{\partial^2 \psi(\vec{r})}{\partial z^2}\hat{k}}$

عملگر پاریته $\mathcal{P}$، بردار مکان را با قرینه اش در تابع موج جایگزین می کند:

(7)

$\large \mathcal{P}\psi(\vec{r})=\psi(-\vec{r})$

3-66 ضرب عملگرها

به طور کلی، برای دو عملگر دلخواه $\hat{A}$ و $\hat{B}$، ضرب عملی جابجاپذیر نیست:

(8)

$\large \hat{A}\hat{B} \neq \hat{B}\hat{A}$

خاصیت شرکت پذیری در ضرب عملگرها برقرار است:

(9)

$\large \hat{A}\hat{B}\hat{C}=(\hat{A}\hat{B})\hat{C}=\hat{A}(\hat{B}\hat{C})$

همچنین می توان توان ها را با هم جمع کرد:

(10)

$\large \hat{A}^n \hat{A}^m = \hat{A}^{n+m}$

هنگامی که ضرب $\hat{A}\hat{B}$ بر کت دلخواه $| \psi \rangle $ اثر می کند؛ ترتیب عملگرها حائز اهمیت است. همیشه از نزدیکترین عملگر، شروع به اثر دادن عملگرها می کنیم. یعنی $\hat{B}$ نخست بر $| \psi \rangle $ اثر می کند؛ سپس $\hat{A}$ را بر کت حاصل $\hat{B} | \psi \rangle$ اعمال می کنیم. این قاعده در هرتعداد عملگر ضربی صادق است.

(11)

$\large \hat{A}\hat{B}| \psi \rangle=\hat{A}(\hat{B}| \psi \rangle)$

در صورتی که عملگر $\hat{A}$، بین یک برا $\langle \phi |$  و یک کت $| \psi \rangle $ قرار بگیرد؛ حاصل یک عدد مختلط (می تواند حقیقی یا موهومی محض نیز باشد) خواهد بود. توجه به ضرب ماتریسی، یک بردار سطری در ماتریس مربعی در یک بردار ستونی، نتیجه گیری را ساده می کند.

(12)

$\large \langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle =$ عدد مختلط

همچنین اهمیتی ندارد که عملگر، ابتدا بر برا اثر کند و سپس برای حاصل در کت ضرب شود یا ابتدا بر کت اثر کند، سپس کت حاصل در برا ضرب شود:

(13)

$\large (\: \langle \phi | \hat{A} \: ) \: | \psi \rangle = \langle \phi | \: (\: \hat{A} | \psi \rangle \: )$

4-66 عملگر خطی

عملگر $\hat{A}$ در صورتی خطی نامیده می شود که دارای خاصیت توزیع پذیری (پخش پذیری) باشد و ثابت های عددی جابجا شود. صورت نمادین جمله قبل را در دو رابطه پایین برای کت ها $| \psi_i \rangle$ ، براها $ \langle \phi_i |$ و اعداد مختلط $a_i$ دلخواه آورده ام:

(14)

$\hat{A}(a_1|\psi_1 \rangle+a_2|\psi_2 \rangle)=a_1\hat{A}|\psi_1 \rangle+a_2\hat{A}|\psi_2 \rangle$

(15)

$(\langle\phi_1|a_1+\langle\phi_2|a_2)\hat{A}=a_1\langle\phi_1|\hat{A}+a_2\langle\phi_2|\hat{A}$

5-66 مقدار چشمداشتی

مقدار چشمداشتی یا میانگین عملگر $\hat{A}$ نسبت به حالت $|\psi \rangle$، به صورت زیر تعریف می شود:

(16)

$\large \langle \hat{A} \rangle = \displaystyle{\frac{\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}}$

واضح است که اگر حالت $|\psi \rangle$ بهنجار باشد؛ مخرج رابطه بالا یک خواهد بود.

6-66 ملاحظات

• ضرب یک کت در یک برا $|\phi\rangle\langle \psi|$ یک عملگر خطی است. از این نظر می توان عملگر بودن آن را بررسی کرد که در صورتی که بر یک کت دلخواه $| \psi’ \rangle$ اعمال شود؛ کت دیگری را نتیجه می دهد:

(17)

$\large (|\phi\rangle\langle \psi|)| \psi’ \rangle = (\langle \psi | \psi’ \rangle) |\phi\rangle$

که $\langle \psi | \psi’ \rangle$ یک عدد مختلط است.

• ضرب یک عملگر از چپ در یک برا $\hat{A}\langle \phi |$ و ضرب یک عملگر از راست در یک کت $ |\psi \rangle\hat{A}$ معنایی ندارد. علت آن از ضرب ماتریسی، با در نظر گرفتن برا به عنوان بردار سطری و کت به عنوان بردار ستونی، بوضوح مشخص است.

7-66 جمع بندی فصل

در این فصل بطور عمومی با عملگر آشنا شدیم و خواص آن را بررسی کردیم. همچنین به نحوه ضرب عملگرها، تعریف عملگر خطی و مقدار چشمداشتی نیز پرداختیم.

 

تمرینات فصل

*1- عملگر ماتریسی $S_x$ را درنظر بگیرید:

$\large S_x=\displaystyle{\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$

مقدار چشمداشتی $\langle S_x \rangle$ را در حالت $| \psi \rangle$ بدست آورید:

$\large | \psi \rangle=\displaystyle{\begin{bmatrix} 1\\ 1+3i \end{bmatrix}}$

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	65 نمادگذاری دیراک	66 عملگر : مقدمه	67