65 نمادگذاری دیراک

حالت فیزیکی یک سامانه کوانتومی، با عنصرهای فضای هیلبرت نمایش می دهیم. این عناصر، بردارهای حالت نامیده می شوند. بردارهای حالت در پایه های متفاوت بوسیله بسط تابع ها نمایش پذیرند. همانطور که بردارهای فضای دکارتی را می توان در دستگاه مختصات های گوناگون (مثلا با اندکی دوران نسبت به یکدیگر) نمایش داد. قطعا بردار موجود در فضای دکارتی مستقل از پایه دستگاه مختصاتی است که در آن بسط داده می شود. این قضیه برای بردارهای حالت سامانه کوانتومی نیز صادق است. برای استقلال بردارهای حالت از مختصات، پل دیراک نمادگذاری ارزشمند خود را تبیین کرد.

1-65 کت

دیراک بردار حالت $\psi$ را با نماد $| \psi \rangle$ نمایش داد که بردار کت (Ket) یا به سادگی کت نامیده می شود. بردارهای کت را با ماتریس های ستونی نمایش می دهیم. کت ها به فضای هیلبرت $\mathcal{H}$ یا فضای کت تعلق دارند.

2-65 برا

به ازای هر کت، یک بردار برا یا به سادگی (Bra) وجود دارد که به فضای همزاد $\mathcal{H}_d$ متعلق است و با $\langle \psi |$ نمایش می دهیم. بردارهای برا را با ماتریس های سطری نمایش می دهیم. بردار برا، ترانهاده مختلط بردار کت است. برای مثال اگر $a$ و $b$ دو عدد مختلط و درایه های کت باشند، رابطه کت و برا به صورت زیر است:

(1)

$\large | \psi \rangle = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \leftrightarrow \langle \psi |= \begin{bmatrix} a^* & b^* \end{bmatrix}$

3-65 برا-کت

نمادگذاری ضرب داخلی نیز با برا-کت قابل توصیف است. این ضرب داخلی به صورت $\langle \phi | \psi \rangle$ نمایش داده می شود که برای سهولت نمایش، تنها یکی از خطوط عمودی برا و کت را می نویسیم. از دیدگاه ماتریسی نیز ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی همواره یک عدد است؛ به همین دلیل نوشتن بصورت برا-کت اهمیت دارد. ضرب عدد مختلط در کت(برا) یک کت(برا) بدست می دهد و در این مورد با بردارها تفاوتی ندارد.

4-65 ویژگی های نمادگذاری دیراک

نمادگذاری دیراک خصوصیاتی دارد که آن ها را در این بخش ذکر می کنم:

به ازای هر کت، یک برا وجود دارد

به ازای هر کت، برا وجود دارد و برعکس : $|\psi \rangle \leftrightarrow \langle \psi |$

می توان هر ضریب مختلط را از کت خارج کرد اما برای خروج ضریب مختلط از برا، باید مزدوج آن را جلوی برا نوشت، $a$ یک عدد مختلط است:

$|a\psi \rangle=a|\psi \rangle \; , \; \langle a \psi |=a^*\langle \psi |$

میان براها و کت ها تناظری یک به یک موجود است؛ $a$ و $b$ دو عدد مختلط اند.:

$a|\psi \rangle + b|\phi \rangle \leftrightarrow a^*\langle \psi |+b^*\langle \phi |$

ویژگی های ضرب داخلی

همانطور که پیشتر گفتم؛ ترتیب در ضرب داخلی مکانیک کوانتومی دارای اهمیت است. جابجا کردن برا و کت در ضرب نرده ای، به اندازه مزدوج مختلط گرفتن از حاصل هزینه دارد:

$\langle \phi |\psi \rangle^* = \langle \psi |\phi \rangle$

طبیعتا اگر دو بردار حالت حقیقی باشند، ضرب داخلی جابجایی پذیر است. دیدن فهرست چند ویژگی دیگر ضرب داخلی خالی از لطف نیست (این ها از ویژگی های قبلی و خطی بودن ضرب داخلی نشات می گیرند):

(2)

$\langle \phi |a\psi_1+b\psi_2 \rangle=a\langle \phi |\psi_1 \rangle+b\langle \phi |\psi_2 \rangle$

(3)

$\langle c\phi_1+d\phi_2 |\psi \rangle=c^*\langle \phi_1 |\psi \rangle+d^*\langle \phi_2 |\psi \rangle$

(4)

$\small \langle c\phi_1+d\phi_2 |a\psi_1+b\psi_2 \rangle= c^*a\langle \phi_1 |\psi_1 \rangle+c^*b\langle \phi_1 |\psi_2 \rangle +$

$\small d^*a\langle \phi_2 |\psi_1 \rangle+d^*b\langle \phi_2 |\psi_2 \rangle$

نرم همواره حقیقی و نامنفی است.

به ازای هر بردار حالت $|\psi \rangle$ فضای هیلبرت $\mathcal{H}$، نرم بردار یا $\langle \psi |\psi \rangle$ همواره مثبت است. تنها در صورتی که بردار حالت، بردار صفر باشد؛ نرم صفر خواهد بود. در صورتی که بردار بهنجار باشد نرم برابر با یک است ($\langle \psi |\psi \rangle=1$).

نامساوی شوارتز

برای دو بردار حالت دلخواه $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$ در فضای هیلبرت، نامساوی شوارتز برقرار است (اثبات در مثال 62-1):

(5)

اگر $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$ وابسته خطی یکدیگر باشند (یکی ضریب از دیگری باشد مثلا $|\psi \rangle =a |\phi \rangle$ که $a$ اسکالر است). تساوی برقرار می شود (تمرین 65-1). مشابه این رابطه را در فضای اقلیدسی نیز داریم:

(6)

$\large |\vec{a}.\vec{b}|^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$

نامساوی مثلث

(7)

$\sqrt{\langle \psi+\phi | \psi+\phi \rangle} \leq \sqrt{\langle \psi | \psi\rangle} + \sqrt{\langle \phi | \phi\rangle}$

در صورتی که $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$ وابسته خطی یکدیگر باشند؛ رابطه بالا تساوی می شود. همانند این نامساوی را در فضای اقلیدسی نیز داریم:

(8)

$\large |\vec{a}+\vec{b}| \leq |\vec{a}|+|\vec{b}|$

حالت های متعامد

هرگاه حاصل ضرب داخلی دو بردار حالت $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$ صفر باشد، آنگاه دو بردار متعامدند:

(9)

$\large \langle \psi | \phi\rangle = 0$

حالت های متعامد بهنجار

دو بردار حالت که نرم آن ها یک است و با هم متعامدند؛ بردارهای متعامد بهنجارند:

(10)

$\large \langle \psi | \phi\rangle = 0 \; , \; \langle \psi | \psi\rangle = 1 \; , \; \langle \phi | \phi\rangle = 1$

کمیت های ممنوعه

اگر دو بردار حالت $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$، متعلق به یک فضای برداری (هیلبرت) باشند. ضرب های کت-کت $|\psi \rangle |\phi \rangle$ و برا-برا $\langle \psi |\langle \phi |$ ممنوع و بی معنی اند. از دیدگاه ماتریسی نیز واضح است که ضرب ماتریسی دو بردار ستونی یا دو بردار سطری امکان پذیر نیست. اگر $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$، به دو فضای برداری متفاوت تعلق داشته باشند. تنها ضرب تانسوری دو بردارحالت $|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$ معنی دار و قابل انجام است.

* مثال 65-1)

الف) $| \psi+\chi \rangle$ و $\langle \psi+\chi |$ را محاسبه کنید

ب) ضرب های داخلی $\langle \psi | \chi \rangle$ و $\langle \chi | \psi \rangle$ را محاسبه کنید؛ آیا دو کمیت یکسانند؟

پاسخ

الف)

کافی است مولفه به مولفه جمع کت ها صورت گیرد تا $| \psi+\chi \rangle$ محاسبه شود:

$| \psi+\chi \rangle=(3i-1)|\phi_1 \rangle+(-5i)|\phi_2 \rangle $

برای محاسبه $\langle \psi+\chi |$، کافی است از ضرایب بالا مزدوج مختلط بگیریم و آنها را در برابر براهای متناظر $\phi_i$ می نویسیم:

$\langle \psi+\chi |=(-3i-1)\langle \phi_1 | + (5i) \langle \phi_2 |$

ب) چون بردارهای پایه متعامد بهنجارند؛ تنها کافی است بردار برای $\psi$ را حساب کنیم و مولفه های آن را در مولفه های کت $\chi$ ضرب کنیم و در آخر جمع کنیم تا $\langle \psi | \chi \rangle$ حساب شود:

$\langle \psi | \chi \rangle=(-3i,7i).(-1,2i)=3i-14$

مشابه کار بالا را برای $\langle \chi | \psi \rangle$ انجام می دهیم:

$\langle \chi | \psi \rangle=(-1,-2i).(3i,-7i)=-3i-14$

کمیت های محاسبه شده برابر نیستند و مزدوج مختلط یکدیگرند که انتظارش را داشتیم.

5-65 مفهوم فیزیکی ضرب داخلی

ضرب داخلی مکانیک کوانتومی به دو روش تفسیر می شود. روش نخست اینکه همانند فضای اقلیدسی – که در آن $\vec{a}.\vec{b}$ تصویر بردار $\vec{b}$ بر بردار $\vec{a}$ را نشان می دهد – ضرب $\langle \phi | \psi \rangle$ تصویر $|\psi \rangle$ بر $|\phi \rangle$ است. روش دیگر برای حالت های بهنجار، با تعبیر آماری بورن مطابقت دارد. کمیت $\langle \phi | \psi \rangle$ دامنه احتمالی که حالت سامانه $|\psi \rangle$ پس از انجام یک اندازه گیری بر سامانه، در حالت دیگر $|\phi \rangle$ باشد را نمایش می دهد.

6-65 جمع بندی فصل

با نمادگذاری دیراک و خصوصیات برا، کت و برا-کت آشنا شدیم. همچنین مفهوم فیزیکی ضرب داخلی را بررسی نمودیم.

شکل 65-1، پل دیراک (1984-1902)

تمرینات فصل

*1- یادتان هست که گفتم اگر $|\psi \rangle$ و $|\phi \rangle$ وابسته خطی یکدیگر باشند؛ نامساوی شوارتز تبدیل به تساوی می شود؟ این را اثبات کنید. همین را برای نامساوی مثلث نیز انجام دهید.

*2- دو کت زیر را در نظر بگیرید:

$| \psi \rangle = \displaystyle{\begin{bmatrix} -3i \\ 2+i \\ 4 \end{bmatrix}} \; , \; | \phi \rangle =\displaystyle{\begin{bmatrix} 2 \\ -i \\ 2-3i \end{bmatrix}}$

الف) بردار برا $\langle \phi |$ را محاسبه کنید.

ب) ضرب داخلی $\langle \phi | \psi \rangle$ را بدست آورید.

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	64 توابع انتگرال پذیر مجذوری	65 نمادگذاری دیراک	66 عملگر : مقدمه

قدرت گرفته از ساینسیو

Saturn Science