در سلسله فصل هایی به مفاهیم و مطالب مکانیک کوانتوم می پردازم. برای اینکه دستیابی به مطالب ساده تر باشد؛ فصل ها کوتاه ترند تا عناوین متمایز و در دسترس باشند. معادله شرودینگر که بنیان مکانیک کوانتوم بر آن استوار است؛ معادله ای خطی است. صورت بندی مکانیک کوانتومی به عملگرهای خطی می پردازد و با توابع موجی سروکار دارد که به فضای انتزاعی هیلبرت متعلق هستند. بدین ترتیب شناخت ویژگی های ریاضی و ساختار فضای هیلبرت برای درک مکانیک کوانتومی ضروری است.

1-62 فضای برداری خطی

برای درک فضای هیلبرت، نیاز به تعریف فضای برداری خطی داریم. فضای برداری خطی از دو مجموعه عناصر و دو قاعده جبری تشکیل می شود. یک مجموعه از بردارهای $\psi$، $\phi$، $\chi$ و… و یک مجموعه از اسکالرهای $a$، $b$، $c$ و… عناصر فضا هستند. یک قاعده جبری جمع برداری است و دیگر قاعده، ضرب اسکالر در بردار است.

1-1-62 قاعده جمع

قاعده جمع شامل ویژگی های زیر است:

• اگر $\psi$ و $\phi$ بردارها (عناصر) یک فضا باشند؛ جمع آن ها $\psi+\phi$ نیز برداری در همان فضاست.
• جمع جابجایی پذیر است: $\psi+\phi=\phi+\psi$
• جمع شرکت پذیر است: $(\psi+\phi)+\chi=\psi+(\phi+\chi)$
• به ازای هر بردار $\psi$، یک بردار صفر وجود دارد: $\psi+O=O+\psi=\psi$
• به ازای هر بردار $\psi$ یک بردار متقارن (قرینه) وجود دارد که جمع با آن صفر خواهد بود: $\psi+(-\psi)=(-\psi)+\psi=O$

2-1-62 قاعده ضرب اسکالر در بردار

اسکالر می تواند یک عدد حقیقی یا مختلط باشد. ویژگی های زیر، قاعده ضرب را می سازند:

• ضرب اسکالر در بردار، بردار دیگری در همان فضا بدست می دهد. اگر $\psi$ و $\phi$ دو بردار در یک فضا باشند و $a$ و $b$ دو اسکالر؛ آنگاه هر ترکیب خطی $a\psi+b\phi$ نیز بردار در آن فضاست.
• توزیع پذیری نسبت به جمع برقرار است: $(a+b)\psi=a\psi+b\psi \;,\; a(\psi+\phi)=a\psi+a\phi$
• شرکت پذیری نسبت به ضرب اسکالرها برقرار است: $a(b\psi)=(ab)\psi$
• به ازای هر بردار $\psi$، اسکالر یکه $I$ و اسکالر صفر $o$ وجود دارد: $\psi I=I \psi =\psi \; , \; \psi o = o \psi=o$

2-62 فضای هیلبرت

فرض کنید که فضای هیلبرت از یک مجموعه بردارهای $\psi$، $\phi$، $\chi$ و… و یک مجموعه از اسکالرهای $a$، $b$، $c$ و… تشکیل شده است. در فیزیک فضای هیلبرت را با نماد $\mathcal{H}$ نشان می دهیم. ویژگی های زیر معرف یک فضای هیلبرت است:

• فضای هیلبرت یک فضای برداری خطی است.
• برای هر دو بردار در فضای هیلبرت – مانند $\psi$ و $\phi$ – همواره ضرب داخلی تعریف می شود. نتیجه این ضرب داخلی همواره متناهی است. حاصل می تواند حقیقی یا مختلط باشد. ضرب داخلی این دو تابع را بصورت $\langle \psi | \phi \rangle$ نشان می دهیم. ضرب داخلی ویژگی های زیر را داراست:

ضرب داخلی دو بردار به این صورت است که از درایه های بردار اول مزدوج مختلط می گیریم و سپس درایه ها نظیر به نظیر در هم ضرب و حاصل ضرب ها با یکدیگر جمع می شوند.

(1)

$\normalsize \langle \psi | \phi \rangle= \psi^{*}.\phi=\psi^{*}_1\phi_1+\psi^{*}_2\phi_2+…+\psi^{*}_n\phi_n$

باتوجه به خاصیت بالا، ترتیب در ضرب داخلی دارای اهمیت است. چون $ \langle \phi | \psi \rangle= \phi^{*}.\psi$، جابجاکردن بردارها، از حاصل ضرب داخلی مزدوج مختلط می گیرد:

(2)

$\large \langle \psi | \phi \rangle= \langle \phi | \psi \rangle^{*}$

• ضرب داخلی نسبت به عامل دوم خطی است؛ یعنی ضرب داخلی به صورت زیر قابل تفکیک است و ضرایب بدون دست خوردگی از ضرب داخلی خارج می شوند:

(3)

$\large \langle \phi | a\psi+b\chi \rangle = a\langle \phi | \psi \rangle + b\langle \phi | \chi \rangle$

• ضرب داخلی نسبت به عامل اول پادخطی است؛ یعنی ضرب داخلی به صورت زیر قابل تفکیک است و مزدوج مختلط ضرایب از ضرب داخلی خارج می شود:

(4)

$\large \langle a\psi+b\chi | \phi \rangle = a^*\langle \psi | \phi \rangle + b^*\langle \chi | \phi \rangle$

• ضرب داخلی بردار در خودش همواره نامنفی است (تنها در صورتی صفر است که بردار صفر باشد). به رادیکال حاصل این ضرب، نرم بردار می گوییم. برای بردار $\psi$ نرم آن را با علامت $||\psi||$ نشان می دهیم.

(5)

$\large \langle \psi | \psi \rangle = || \psi ||^2 \geq 0$

• فضای هیلبرت کامل است. هر دنباله کوشی از عناصر برداری $\mathcal{H}$ به یک عنصر برداری $\mathcal{H}$ در همان فضا همگرا می شود. به بیان ساده هیچ حفره ای در فضای هیلبرت نیست(همانند مجموعه اعداد حقیقی که حفره ای ندارد اما مجموعه اعداد گویا دارای حفره هایی است).

**مثال 62-1) نامساوی شوارتز

با فرض گرفتن رابطه (5)، ثابت کنید برای دو بردار $\psi$ و $\phi$ در فضای $\mathcal{H}$ نامساوی شوارتز به صورت زیر برقرار است:

(6)

$\large |\langle \psi | \phi\rangle |^2 \leq \langle \psi | \psi \rangle \langle \phi | \phi \rangle$

پاسخ

اثبات نامساوی شوارتز خلاقانه است. با فرض اینکه $a$ یک عدد مختلط است؛ از رابطه (5) و اینکه ترکیب خطی $\psi$ و $\phi$ نیز در فضای هیلبرت است، استفاده می کنیم:

$\large \langle \psi-a\phi|\psi-a\phi\rangle \geq 0$

با استفاده از رابطه (3) و (4)، سمت چپ نامساوی را باز می کنیم:

$\large \langle \psi-a\phi|\psi\rangle -a\langle \psi-a\phi|\phi \rangle \geq 0$

(7)

$\normalsize \langle \psi | \psi \rangle – a^{*}\langle \phi | \psi\rangle – a \langle \psi| \phi\rangle +a^* a \langle \phi|\phi \rangle \geq 0$

بدون از بین رفتن کلیت مسئله می توانیم از عبارت سمت چپ نامساوی نسبت به $a^*$ مشتق جزئی بگیریم تا حداقل مقدار $a$ که رابطه بالا را برقرار کند محاسبه کنیم:

$\large – \langle \phi | \psi\rangle + a \langle \phi|\phi \rangle=0 \Rightarrow a=\displaystyle{\frac{\langle \phi | \psi\rangle}{\langle \phi|\phi \rangle}}$

با توجه با رابطه بالا و رابطه (2)، می توان $a^*$ را بدست آورد (کافی است از صورت و مخرج $a$ مزدوج مختلط بگیریم):

$\large a^*=\displaystyle{\frac{\langle \psi | \phi\rangle}{\langle \phi|\phi \rangle}}$

حال $a$ و $a^*$ بدست آمده را در رابطه (7) جایگذاری می کنیم:

$\large \langle \psi | \psi \rangle – \frac{\langle \psi | \phi\rangle \langle \phi | \psi\rangle}{\langle \phi | \phi\rangle} \geq 0 $

به سادگی از رابطه بالا، نامساوی شوارتز نتیجه می شود.

$\large | \langle \psi | \phi\rangle |^2 \leq \langle \psi | \psi \rangle \langle \phi | \phi \rangle$

3-62 جمع بندی فصل

با ویژگی های فضای هیلبرت، فضایی که توابع موج کوانتومی در آن زندگی می کنند، آشنا شدیم. این را درنظر بگیرید که بردارهای مکانیک کوانتومی، در اغلب مسائل توابعی هستند که در فضای نامتناهی وجود دارند. در فصول آینده با این توابع بیشتر آشنا می شویم.

*1- نامساوی شوارتز را برای دو بردار عادی $\vec{a}$ و $\vec{b}$ بررسی کنید:

(8)

$\large |\vec{a}.\vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$