در فصل قبل با فضای هیلبرت آشنا شدیم. در این فصل، ابتدا مفهوم استقلال و وابستگی خطی را بررسی خواهیم کرد. سپس بعد و پایه یک فضای برداری را توضیح خواهم داد تا بیشتر با ابزارهای ریاضی مکانیک کوانتوم آشنا شویم.

1-63 استقلال و وابستگی خطی

به مجموعه ای از $N$ بردار ناصفر $\phi_1,\phi_2,…\phi_N$ مستقل خطی گوییم هرگاه تنها جواب معادله (1)، جوابی است که در آن همه ضرایب اسکالر صفر باشد

($a_1=a_2=…=a_N=0$):

(1)

$\large \displaystyle{\sum_{i=1}^{N}a_i\phi_i}=O$

در رابطه بالا $O$ به معنای بردار صفر است. اما اگر یک مجموعه ضرایب اسکالر $\{a_i\}$ وجود داشته باشد که تمامی اعضای آن صفر نباشد و در معادله بالا صدق کند؛ بردارها وابسته خطی اند. در این صورت همواره می توان یکی از بردارها (مثلا اینجا $\phi_M$) را به صورت ترکیب خطی از بردارهای دیگر نوشت:

(2)

$\large \phi_M=\displaystyle{\sum_{i=1}^{M-1}a_i\phi_i+\sum_{i=M+1}^{N}a_i\phi_i}$

با مثال این مبحث روشن‌تر می شود.

*مثال 63-1)

مجموعه بردارهای زیر وابسته خطی اند یا مستقل خطی؟

الف) $A=(2,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,-5)$

ب) $A=(6,-9,0),B=(-2,3,0)$

پاسخ

الف)

معادله (1) را تشکیل می دهیم تا ببینیم که ضرایب اسکالر چگونه اند:

$\large a_1A+a_2B+a_3C=O$

$\large (2a_1)\hat{i}+(a_2)\hat{j}+(-5a_3)\hat{k}=O$

با توجه به اینکه هرسه مولفه باید صفر باشند؛ بنابراین ضرایب جملگی صفرند$a_1=a_2=a_3=0$. بدین ترتیب سه بردار مستقل خطی اند.

ب)

همانند الف، معادله (1) را تشکیل می دهیم:

$\large (6a_1-2a_2)\hat{i}+(-9a_1+3a_2)\hat{j}=O$

حال چون دو مولفه صفرند؛ از هر دو معادله به این جواب می رسیم $a_2=3a_1$. بنابراین جواب $a_1=a_2=0$ تنها جواب معادله (1) نیست و بی نهایت جواب دیگر موجودند پس دو بردار وابسته خطی اند. همچنین می توان یک بردار را برحسب بردار دیگر نوشت که این نیز خاصیت وابستگی خطی بردارهاست. $A=-3B$

2-63 بعد

بیشترین تعداد بردارهای مستقل خطی که یک فضای برداری می تواند داشته باشد را بعد فضا می گوییم. اگر بیشینه تعداد بردارهای مستقل خطی $N$ باشد؛ آن گاه به این فضا $N$-بعدی می گوییم. در چنین شرایطی می توان هر بردار دلخواه در این فضای برداری – مانند $\psi$ – را به صورت یک ترکیب خطی (ضرایب اسکالر برای بردارهای مستقل خطی) بسط داد:

(3)

$\large \psi=\displaystyle{\sum_{i=1}^{N}a_i\phi_i}$

3-63 پایه

مجموعه بردارهای مستقل خطی ($\phi_1,\phi_2,…\phi_N$) که تعداد بردارهای آن برابر با بعد فضای برداری است؛ پایه فضای برداری نامیده می شود و به صورت $\{\phi_i\}$ نمایش می دهیم. هر بردار عضو این مجموعه، بردار پایه است. اگرچه بردارهای پایه دلخواه‌اند؛ خوب است که بردارهای پایه متعامد بهنجار باشند. متعامد به این معنا که برهم عمودند و بهنجار به این معنا که نرم (اندازه یا طول) بردار واحد است. تمام مفهوم متعامد بهنجار در ضرب داخلی زیر میان بردارهای پایه قابل بیان است:

(4)

$\large \langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}$

که $\delta_{ij}$ دلتای کرونکر است. هرگاه $i=j$ باشد برابر با یک و در غیر اینصورت صفر است. هرگاه پایه ای تمام فضا را پوشش دهد (همه بردارهای فضا ترکیب خطی بردارهای پایه باشد) به آن پایه، کامل می گوییم. ضرایب بسط $a_i$ در رابطه (3) نیز مولفه های بردار $\psi$ در این پایه هستند که بوسیله $i$ به بردارهای پایه مربوط می شوند. هر مولفه از ضرب نرده ای بردار پایه در $\psi$ بدست می آید (مشابه تصویر کردن بردارهای عادی بر بردارهای پایه):

(5)

$\large a_i = \large \langle \phi_i | \psi \rangle $

1-3-63 مثال هایی از فضای برداری خطی

می خواهم دو مثال از فضاهای برداری خطی ارائه کنم که هردو فضای هیلبرت هستند: یکی مجموعه متناهی (گسسته) از بردارهای پایه و دیگری پایه نامتناهی (پیوسته) دارد.

• فضای سه بعدی دکارتی، پایه این فضا از سه بردار مستقل خطی $\hat{i}$، $\hat{j}$ و $\hat{k}$ تشکیل شده است. در فصول قبل با ویژگی های این فضا آشنا شدیم.
• فضای تمام توابع مختلط $\psi (x)$، بعد این فضا نامتناهی است زیر پایه از بردارهای(توابع) مستقل خطی بیشماری تشکیل شده است.

*مثال 63-2)

در مجموعه ای از توابع، همانند بردارها، هنگامی که بتوان هرتابع را به عنوان ترکیب خطی دیگر توابع (جمع توابع با ضرایب اسکالر که حداقل یکی از ضرایب صفر نباشد) تعریف کرد؛ می گوییم توابع وابسته خطی و در غیر این صورت مستقل خطی هستند. حال بررسی کنید که مجموعه توابع الف و ب بر روی محور حقیقی $x$، مستقل خطی اند یا وابسته خطی.

الف)$f(x)=4,g(x)=x^2,h(x)=e^{2x}$

ب)$f(x)=2+x^2,g(x)=3-x+4x^3,h(x)=2x+3x^2-8x^3$

پاسخ

الف)

هیچ کدام از توابع الف را نمی توان برحسب دیگری نوشت. بنابراین توابع مستقل خطی اند. بصورت معادل، تساوی زیر تنها یک جواب دارد و آن هم زمانی است که ضرایب $a_i$ همگی صفر باشند:

$\large a_1(4)+a_2(x^2)+a_3(e^{2x})=0$

ب)

در نظر بگیرید که $h(x)=3f(x)-2g(x)$ برقرار است. پس توابع ب وابسته خطی اند.

4-63 جمع بندی فصل

در این فصل با آشنایی با استقلال و وابستگی خطی، بعد و پایه فضای برداری یک قدم روبه جلو در آشنایی با مکانیک کوانتومی برداشتیم!

*1- استقلال یا وابستگی خطی مجموعه توابع یا بردارهای زیر را بررسی کنید:

الف)$A=(2,3,-1),B=(0,1,2),C=(0,0,-5)$

ب)$f(x)=x,g(x)=7x,h(x)=x^3$