توابع انتگرال پذیر مجذوری و ضرب داخلی در فضای توابع، بحث این فصل است. در فضای توابع، بردارها با تابع مختلط و ضرب داخلی با یک انتگرال متناظر است.

1-64 ضرب داخلی و تابع انتگرال پذیر مجذوری

ضرب داخلی دو تابع $\psi (x)$ و $\phi (x)$، به صورت زیر تعریف می شود:

(1)

$\large \langle \psi | \phi \rangle=\displaystyle{\int \psi^{*}(x) \phi (x) \mathrm{d}x}$

توجه کنید که همواره از تابع اول مزدوج مختلط می گیریم. در بخش 62-2 گفتم که حاصل ضرب داخلی همواره متناهی است. بنابراین اگر نتیجه انتگرال واگرا(بی نهایت) شود؛ آنگاه ضرب داخلی وجود ندارد. چون می خواهیم فضای تابع همواره دارای ضرب داخلی باشد؛ باید توابعی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب داخلی متناهی داشته باشد. این شرط زمانی برقرار است که ضرب داخلی تابع در خودش همواره متناهی باشد. به چنین تابعی انتگرال پذیر مجذوری می گوییم:

(2)

$\large \langle \psi | \psi \rangle=\displaystyle{\int |\psi (x)|^2 \mathrm{d}x} < \infty$

توجه کنید که همواره ضرب مزدوج مختلط تابع در خود تابع برابر با مجذور نرم تابع است. به سادگی می توان دریافت که فضای توابع انتگرال پذیر مجذوری، دارای تمامی ویژگی های فضای هیلبرت است. البته این را هم در نظر بگیرید که بازه انتگرال مهم است. یک تابع می تواند در بازه ای محدود انتگرال پذیر مجذوری باشد.

بعد فضای هیلبرت توابع انتگرال پذیر مجذوری نامتناهی است. می توان هر تابع موج را برحسب بی نهایت تابع مستقل خطی بسط داد. یادمان هست که بعد، بیشینه تعداد بردارهای مستقل خطی بود که فضا را پوشش می دادند.

2-64 تعبیر آماری بورن

تابع موج $\psi (x,t)$ که جواب معادله شرودینگر است؛ معرف چه چیزی است و چه کارایی برای ما دارد؟ ذره همواره در یک نقطه متمرکز است و موج در فضا منتشر می شود (تابع موج در هرلحظه خاص $t$ تابعی از $x$ است. انگار که از تابع موج عکس گرفته باشیم!). پس چگونه تابع موج توصیف کننده حالت ذره است. تعبیر آماری بورن از تابع موج می گوید که $|\psi (x,t)|^2$ احتمال یافتن ذره در مکان خاص $x$ و زمان خاص $t$ است. به بیان دقیق تر $|\psi (x,t)|^2$ یک تابع چگالی احتمال برای احتمال یافتن ذره بین دو نقطه مکانی $a$ و $b$ در زمان $t$ است:

(3)

$\large P(a\leq x \leq b)=\displaystyle{\int^{b}_{a} |\psi (x,t)|^2 \mathrm{d}x}$

با توجه به اینکه جمع احتمال همواره یک است، بنابراین ذره همواره در جایی از محور $x$ وجود خواهد داشت:

(4)

$\large\displaystyle{\int^{+\infty}_{-\infty} |\psi (x,t)|^2 \mathrm{d}x}=1$

با تعمیم رابطه (3) و (4) به سه بعد محاسبه احتمالات در فضا نیز امکان پذیر است. امکان یافتن یک ذره در کل فضا یک است پس رابطه (4) شکل زیر را به خود می گیرد که $\vec{r}$ بردار مکان است:

(5)

$ \displaystyle{\int^{+\infty}_{-\infty} \mathrm{d}x \int^{+\infty}_{-\infty} \mathrm{d}y \int^{+\infty}_{-\infty} |\psi (\vec{r},t)|^2 \mathrm{d}z}=1$

توابع موجی که در رابطه بالا صدق کنند؛ انتگرال پذیر مجذوری و بهنجارند. در مکانیک کوانتومی تنها این نوع توابع دارای معنای فیزیکی اند.

*مثال 64-1)

توزیع گاوسی را به عنوان تابع چگالی احتمال درنظر بگیرید.

$|\psi (x,0)|^2=\displaystyle{Ae^{-\lambda(x-a)^2}}$

که $A$، $\lambda$ و $a$ مقادیر ثابتند. $A$ یا ثابت بهنجارش را از رابطه (4) پیدا کنید.

پاسخ

رابطه (4) را می نویسیم:

$\large A \displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda(x-a)^2} \mathrm{d}x}=1$

پاسخ انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$\large A\displaystyle{(\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}})}=1$

$\large A=\displaystyle{\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}}$

3-64 جمع بندی فصل

در این فصل به ضرب داخلی و توابع انتگرال پذیر مجذوری پرداختیم. سپس بر تعبیر آماری بورن و توابع بهنجار تمرکز کردیم.

*1- فرض کنید یک فضای برداری سه بعدی داریم. این فضا با سه تابع زیر پوشیده می شود:

$ P_{0}(x)=1 \; , \; P_{1}(x)=x \; , \; P_{2}(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}$

همچنین درنظر بگیرید که ضرب داخلی رابطه (1) برای این فضا بصورت زیر تعریف می شود:

$\large \langle \psi | \phi \rangle=\displaystyle{\int_{-1}^{1} \psi^{*}(x) \phi (x) \mathrm{d}x}$

بررسی کنید که آیا بردارهای پایه این فضا دو به دو برهم عمودند؟

**2- تابع موج زیر را بهنجار کنید:

$\large \psi (x,t)=Ae^{-\lambda|x|}e^{-i\omega t}$

سه کمیت $A$، $\lambda$ و $\omega$ ثابتند.