در این فصل به وارون یک عملگر کوانتومی و عملگرهای یکانی می پردازیم.

1-72 وارون یک عملگر

در صورتی که عملگر وارون پذیر باشد (همانند ماتریس ها که در آن ها وارون پذیری وجود دارد)؛ $\hat{A}^{-1}$، وارون عملگر $\hat{A}$ است که بصورت زیر تعریف می شود:

(1)

$\large \hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{I}$

در رابطه بالا $\hat{I}$ عملگر یکه است.

تقسیم عملگر دلخواه $\hat{A}$ بر عملگر وارون پذیر $\hat{B}$ نیز امکان پذیر است و معادل با ضرب $\hat{A}$ در وارون $\hat{B}$ است:

(2)

$\large \displaystyle{\frac{\hat{A}}{\hat{B}}}=\hat{A}\hat{B}^{-1}$

با توجه به اینکه درحالت کلی $\hat{A}\hat{B}^{-1} \neq \hat{B}^{-1} \hat{A}$ را داریم؛ محل قرارگیری تقسیم دارای اهمیت است:

(3)

$\large \displaystyle{\frac{\hat{A}}{\hat{B}}}=\displaystyle{\hat{A}\frac{\hat{I}}{\hat{B}}}=\hat{A}\hat{B}^{-1},$

$\large \displaystyle{\frac{\hat{I}}{\hat{B}}\hat{A}}=\hat{B}^{-1}\hat{A}$

ویژگی های زیر برای وارون عملگرها نیز وجود دارد:

(4)

$\large (\hat{A}\hat{B}\hat{C})^{-1}=\hat{C}^{-1}\hat{B}^{-1}\hat{A}^{-1}$

رابطه بالا برای هر تعداد عملگر صادق است. توان نیز با وارون جابجا می شود:

(5)

$\large (\hat{A}^n)^{-1} = (\hat{A}^{-1})^n$

2-72 عملگر یکانی

هرگاه وارون عملگری مانند $\hat{U}$ با الحاقی هرمیتی آن یکسان باشد؛ آن عملگر را یکانی گوییم:

(6)

$\large \hat{U}^{-1} = \hat{U}^\dagger $

که با توجه به رابطه (1) و (6)، حالت زیر نیز برقرار است:

(7)

$\large \hat{A}\hat{U}^\dagger=\hat{U}^\dagger\hat{A}=\hat{I}$

ویژگی جالب عملگرهای یکانی این است که ضرب آن ها نیز یکانی باقی می ماند. در صورتی که $\hat{U}$ و $\hat{V}$ دو عملگر یکانی دلخواه باشند:

(8)

$\large (\hat{U}\hat{V})(\hat{U}\hat{V})^\dagger = (\hat{U}\hat{V})(\hat{V}^\dagger\hat{U}^\dagger) =$

$\large \hat{U}(\hat{V}\hat{V}^\dagger)\hat{U}^\dagger=\hat{U}\hat{I}\hat{U}^\dagger=\large \hat{U}\hat{U}^\dagger=\hat{I}$

به ابتدا و انتهای رابطه (8) نگاه کنید؛ شرایط رابطه (7) برقرار است پس ضرب دو عملگر یکانی نیز یکانی است. این نتیجه گیری به هرتعداد عملگر یکانی ضرب شونده قابل تعمیم است.

*مثال 72-1)

برای پارامتر $\epsilon$ و عملگر $\hat{G}$ چه شرایطی برقرار باشد تا عملگر $\hat{U}=e^{i\epsilon \hat{G}}$ یکانی شود؟

پاسخ

ابتدا مزدوج هرمیتی $\hat{U}$ را حساب می کنیم:

$\large \hat{U}^\dagger=(e^{i\epsilon \hat{G}})^\dagger=e^{-i\epsilon^* \hat{G}^\dagger}$

همچنین وارون عملگر را:

$\large \hat{U}^{-1}=(e^{i\epsilon \hat{G}})^{-1}=e^{-i\epsilon \hat{G}}$

از معادل هم قراردادن دو رابطه بالا به دست می آید که $\epsilon$ باید حقیقی بوده و $\hat{G}$ نیز یک عملگر هرمیتی باشد. در این شرایط رابطه (6) برقرار است و عملگر $\hat{U}$ یکانی خواهد بود.

3-72 جمع بندی فصل

در این فصل با وارون عملگر کوانتومی و ویژگی های آن آشنا شدیم. همچنین عملگرهای مهم یکانی را شناختیم و به یکانی بودن ضرب چند عملگر یکانی پی بردیم.

*1- مزدوج هرمیتی عملگر زیر را حساب کنید:

$\large \hat{B}=\displaystyle{\frac{(3+2i\hat{A})(4\hat{A})}{6-\hat{A}}}$