در این فصل، قصد دارم به مبحث دنباله های هندسی بپردازم. دنباله هندسی، دنباله ای است که حاصل تقسیم دو جمله متوالی، همواره مقداری ثابت باشد. برای آشنایی بیشتر با مفهوم دنباله، می توانید نگاهی به دنباله حسابی و دنباله بازگشتی نیز بیندازید.

1-20 تعریف

مطابق تعریفی که در مقدمه آوردم، انتظار داریم که هر جمله با جمله قبلی، تنها در توان قدرنسبت (همان حاصل تقسیم همیشه ثابت دو جمله متوالی) متفاوت باشد؛ اگر جمله اول را $a_{1}$ و قدرنسبت را $q$ بنامیم؛ دنباله مدنظر ما به شکل زیر است:

(1)

$\large a_{1},a_{1}q,a_{1}q^{2},…,a_{1}q^{n-1},….$

همانطور که در دنباله بالا مشخص کردم، هر جمله دنباله را می توان از رابطه زیر محاسبه کرد:

(2)

$\large a_{n}=a_{1}q^{n-1}$

برای محاسبه یک جمله دلخواه از روی یک جمله دیگر و قدرنسبت معلوم، یا محاسبه قدرنسبت مجهول از روی دو جمله معلوم، از رابطه ساده زیر بهره می بریم؛ اثبات ساده ای دارد که تنها حاصل دوبار نوشتن رابطه (2) برای دو جمله و انجام عملیات تقسیم است:

(3)

$\large \frac{a_{m}}{a_{n}}=q^{m-n}$

* مثال 20-1)

جمله سوم دنباله ای 8 و جمله دهم 1024 است؛ قدر نسبت را محاسبه کنید.

پاسخ

با اینکه صورت سوال فریاد میزند که این دنباله، دنباله توان های صحیح 2 است؛ از رابطه (3) استفاده می کنم:

$\large \frac{a_{10}}{a_{3}}=q^{10-3}=q^{7}$

$\large \frac{1024}{8}=128 \rightarrow q^{7}=128 \rightarrow q=2$

چرا نگفتم که قدرنسبت دنباله می تواند $-2$ باشد؟ دنباله هایی (هندسی) که قدرنسبت منفی دارند؛ جمله با اندیس فرد و جمله با اندیس زوج،(اگر صفر نباشند) علامت مخالفی با هم دارند اما اینجا جمله سوم و دهم هم علامت اند.

2-20 مجموع جملات دنباله هندسی

فرض کنید که می خواهیم جملات دنباله (1) را تا جمله n ام جمع کنیم:

(4)

$\large a_{1}(1+q+q^{2}+…+q^{n-1}) $

پرانتر بالا شبیه جمله چاق در اتحاد چاق و لاغر نیست؟ واقعیت این است که اتحاد چاق و لاغر به هر توانی قابل تعمیم است:

(5)

$\large q^{n}-1=(q-1)(1+q+q^{2}+…+q^{n-1})$

حال جمله چاق را در یک طرف تساوی تنها می کنیم و عبارت (4) را بازنویسی می کنیم:

(6)

$\large S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} $

عبارت تمیز بالا همان مجموع جملات دنباله هندسی تا جمله nام است.

* مثال 20-2)

مجموع ده جمله اول دنباله هندسی مثال 20-1 را بیابید.

پاسخ

واضح است که $a_{1}=2$ ، حال از رابطه 6 برای مجموع جملات استفاده می کنم:

$\large S_{10}=(2)\frac{1024-1}{2-1}=2046$

3-20 جمع بندی فصل

در این فصل با دنباله (تصاعد) هندسی و رابطه مجموع تعداد محدودی از جملات آشنا شدیم. از تولید مثل باکتری گرفته تا نیم عمر مواد پرتوزا را می توان با دنباله هندسی توصیف نمود! تمرین های جذابی در این باب آورده ام که می توانید حل کنید.

شکل 20-1، اشریشیا کلی، نوعی باکتری که در روده انسان نیز وجود دارد.

*1- تولیدمثل نوعی باکتری به شکلی است که پس از حدود 20 دقیقه، هر باکتری تبدیل به دو باکتری می شود؛ فرض کنید ساعت 00:00 سه شنبه در محیطی آزمایشگاهی، 1 باکتری داشته باشیم. ساعت 00:00 چهارشنبه چند باکتری وجود دارد؟

**2- نیم عمر به مدت زمانی گفته می شود که ماده پرتوزا در اثر واکنش های پرتوزایی به نصف مقدار اولیه خود برسد. فرض کنید ایزوتوپ عنصری به نام تکنسیم، نیم عمری معادل 60 روز دارد. پس از گذشت 360 روز (حدود یک سال شمسی)، چند درصد از ماده پرتوزا باقی مانده است؟