در علوم تجربی، باید الگوهای تکرارشونده را شناسایی کنیم؛ سپس برای این الگوها روابطی مناسب ارائه دهیم تا بتوان جهان اطراف را توصیف کرد. می دانیم که یکی از ابزارهای کارآمد ما برای شناخت محیط پیرامون، اعداد و الگوهای مابین آن ها است. قصد این را دارم که اعدادی را با رفتار نظام مند جلوی شما قرار دهم و سپس با یکدیگر، این نظم موجود را توصیف و ضابطه مند کنیم. مهم ترین این الگوها در این فصل، دنباله حسابی است.

1-18 دنباله اعداد

دنباله ساختاری است که در آن می توان یکسری عدد ریخت! در این اعداد، ترتیب دارای اهمیت است. البته حضور اعضای تکراری در دنباله ایرادی ندارد مثال های زیر همگی دنباله اند. دنباله ها لزوما دارای نظم قابل درکی نیستند. همچنین یک دنباله می تواند شامل تعداد محدود یا نامحدودی عدد باشد.:

$\large 7,5,6,8,8,44,20,5,-4,0$

$\large 1,1,1,1,1,1,1,1,…$

دنباله اول نظم واضح و مشخصی ندارد اما دنباله دوم شامل بی نهایت عدد یک است. یک مفهوم مهم در دنباله ها، ترتیب اعضای آن نسبت به یکدیگر است. مثلا عضو سوم دنباله اول، 6 است و عضو پنجم آن 8. دنباله ای که تمامی اعضای آن با هم یکسان باشد، دنباله ثابت نام دارد. دقیقا مثل دنباله دوم!

2-18 دنباله حسابی

دنباله حسابی، دنباله ای است که اختلاف هردوعضو پشت سر هم همیشه یک عدد ثابت است. این عدد ثابت را قدر نسبت می نامیم. دنباله زیر یک دنباله حسابی است:

$1,4,7,10,13,16,19,22,…$

در اینجا اختلاف عضوهای پشت سرهم یا قدرنسبت برابر با 3 است. نکته جالب این است که با داشتن یکی از عضوها و اندیس آن (منظور از اندیس این است که آن عضو، عضو چندم دنباله است) و همینطور قدرنسبت، می توان کل اعضای دنباله حسابی را محاسبه نمود. به هرعضو دنباله، جمله نیز می گویند (جمله بیشتر بکار می رود). فرض کنید جمله اول دنباله حسابی، $a_{1}$ باشد؛ آنگاه جمله nام دنباله حسابی با قدرنسبت $d$ از رابطه زیر قابل محاسبه است:

(1)

$\large a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

البته همانطور که گفتم، برای محاسبه جملات(اعضا) دنباله حسابی، الزامی نیست که جمله معلوم، جمله اول باشد. فرض کنید جمله mام را می دانیم؛ مطابق رابطه (1) جمله mام از رابطه زیر محاسبه می شود:

$\large a_{m}=a_{1}+(m-1)d$

جمله ای که می خواهیم بدست آوریم همان جمله nام است که از رابطه یک بدست می آید؛ اما این بار $a_{1}$ را نمی دانیم. مشکلی نیست، رابطه (1) را از رابطه بالا کم می کنیم؛ حاصل بصورت زیر است:

(2)

$\large \large a_{n}-\large a_{m}=(n-m)d$

از رابطه بالا واضح است که اگر دو جمله را بدانیم، قدرنسبت به سادگی قابل محاسبه است.

3-18 مجموع جملات دنباله حسابی

برای تعداد محدودی از جملات دنباله حسابی، می توان مجموع جملات را به سادگی محاسبه کرد. فرض کنید می خواهیم مجموع جملات $a_{1}$ تا a_{n} را محاسبه کنیم. مجموع جملات به صورت زیر قابل محاسبه است:

(3)

 $\large S_{n}=a_{1}+a_{1}+d+…+a_{1}+(n-2)d+a_{1}+(n-1)d$

یک فاکتورگیری ساده نتیجه زیر را می دهد:

(4)

$\large S_{n}=na_{1}+\{1+2+…+(n-2)+(n-1)\}d$

حاصل کروشه را با رابطه گاوس می توان محاسبه نمود:

(5)

مجموع اعداد متوالی = (عدد اول + عدد آخر)*(تعداد اعداد)*$\frac{1}{2}$

پس رابطه (4) به عبارت زیر تبدیل می شود:

$\large S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$

با فاکتورگیری از n حاصل به صورت زیر درمی آید:

(6)

$ \large S_{n}=n(a_{1}+\frac{n-1}{2}d)$

رابطه بالا بسیار کاربردی است اما آن را می توان به شکل دیگری نیز بیان کرد، اگر از موجود درون پرانتز مخرج مشترک بگیریم:

(7)

$ \large S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

قبول دارید که $ a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ ؟ همان رابطه (1) است. پس مجموع جملات دنباله را می توان تنها بر اساس تعداد اعضای موردنظر و مقدار جمله اول و اخر محاسبه کرد:
(8)

$ \large S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$

* مثال 18-1)

پس از محاسبه جمله چهلم دنباله اعداد فرد، مجموع جملات دنباله را از جمله اول تا جمله چهلم محاسبه کنید.

پاسخ

ابتدا باید ببینیم که جمله چهلم چیست، جمله اول که یک است؛ از رابطه (1) بهره می برم:

$\large a_{40}=1+(39)2=79$

رابطه (8) برای بخش دوم سوال پاسخگوست:

$ \large S_{40}=\frac{40}{2}(1+79)=1600$

4-18 جمع بندی فصل

به صورت مختصر با مفهوم دنباله و دنباله حسابی و مجموع جملات آن آشنا شدیم. اگر کمی تامل کنیم در می یابیم که دنباله های حسابی رفتاری شبیه خط و معادله خط دارند و انگار قدرنسبت شبیه شیب عمل می کند. این دریافت درستی است اما باید به شما اخطار دهم که دنباله ها موجوداتی گسسته هستند؛ برای مثال جمله دو و نیم ام بی معنی است. مبحث دنباله ها به دنباله حسابی ختم نمی شود. دنباله های دیگری نیز وجود دارند که در فرصتی دیگر با هم بحث خواهیم کرد.

*1- ثابت کنید اگر جمله nام دنباله $p$، $a$ باشد و جمله (n+2) ام همان دنباله $b$ باشد؛ جمله (n+1) ام همیشه از رابطه زیر محاسبه می شود:

(9)

$\large p_{n+1}=\frac{a+b}{2}$

عبارت بالا واسطه یا میانگین حسابی دو عدد $a$ و $b$ است.

**2- مجموع جملات دنباله زیر را تا جمله چهلم محاسبه کنید.

$\large 2,-7,5,-9,8,-11,11,-13,…$

(راهنمایی: دنباله بالا را دو دنباله درنظر بگیرید)