در فصل 15، با اتحادهای مثلثاتی که نتیجه قضیه فیثاغورث بودند؛ آشنا شدیم. این بار می خواهم با نوعی دیگر از اتحادهای مثلثاتی آشنا شویم. اتحادهایی که بیانگر جمع دو زاویه در آرگومان نسبت های مثلثاتی است. مثلا با دانستن نسبت های مثلثاتی زوایای
1-17 سینوس و کسینوس جمع دو زاویه
مستطیل شکل 17-1 را در نظر بگیرید، هدف محاسبه
شکل 17-1، دو زاویه a و b با رنگ آبی و قرمز مشخص شدند
حال می توان در مثلث قائم الزاویه ای که زاویه b قرار دارد، به سادگی طول دو ضلع دیگر را مشخص کرد،
شکل 17-2، اندازه دو ضلع مذکور مشخص شد
حال مثلث قائم الزاویه سمت چپ را در نظر بگیرید که شامل زاویه a است. می دانیم که وتر این مثلث
شکل 17-3، اضلاع دو مثلث مذکور مشخص شد
حال اگر نیک بنگرید، مسئله را حل شده می یابید! در مستطیل ضلع بالا با ضلع پایین برابر است؛ پس به سراغ مثلث بالا که شامل a+b است می رویم؛ تنها کافی است
(1)
اگر ضلع به طول
(2)
2-17 سینوس و کسینوس دو برابر زاویه
از رابطه (1) و (2) می توان شرایطی را بررسی کرد که
(3)
و همچنین رابطه (2) به شکل زیر تبدیل می شود:
(4)
* مثال 17-1)
از نسبت های مثلثاتی
پاسخ
از رابطه (3) داریم:
همچنین از رابطه (4) کسینوس را محاسبه می کنم:
3-17 جمع بندی فصل
در این فصل با فرمول بندی اتحادهای مثلثاتی برای جمع دو زاویه آشنا شدیم؛ برای تعداد زوایای بیشتر هم به سادگی می توان به همین روابط مراجعه کرد؛ برای تمرین در این زمینه، محاسبه تانژانت جمع دو زاویه و دو برابر زاویه را در تمرین 17-1 و 17-2 به شما سپردم. برای تصویرسازی از وبسایت جئوجبرا بهره بردم.
تمرینات فصل |
*1- رابطه تانژانت جمع دو زاویه به صورت زیر است؛ آن را اثبات کنید:
(5)
(راهنمایی: می دانید که
*2- رابطه تانژانت دو برابر زاویه به صورت زیر است؛ آن را اثبات کنید:
(6)
ترتیب فصل |
قبلی |
فعلی |
بعدی |
عنوان |
16 رادیان |
17 اتحادهای مثلثاتی: جمع دو زاویه |
18 دنباله حسابی |