در فصل 18، با دنباله و همچنین نوعی خاص از دنباله یعنی دنباله حسابی آشنا شدیم. در این فصل قصد دارم که شما را با دنباله بازگشتی آشنا کنم. به دنباله ای بازگشتی گفته می شود که هر جمله دنباله دارای وابستگی به برخی از جملات قبلی است. این دنباله ها از برنامه نویسی گرفته تا توصیف آشوب در سامانه های فیزیکی کاربرد دارند.

شکل 19-1، لئوناردو فیبوناچی، ریاضی دان ایتالیایی (حدود 1170 م – حدود 1250 م)

1-19 دنباله فیبوناچی

یکی از مشهورترین انواع دنباله بازگشتی، دنباله فیبوناچی است. این دنباله را به این صورت تعریف می کنیم که جمله اول آن صفر است و جمله دوم یک. سپس از جمله سوم به بعد، هرجمله مجموع دو جمله قبلی است:

(1)

$\large F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \; \; \; (n\geq 3)$

$\large F_{0}=0 , F_{1}=1$

با رابطه بالا، می توان دنباله را به صورت زیر تشکیل داد:

$\large 0,1,1,2,3,5,8,13,21,…$

2-19 نگاشت لجستیک

نگاشت لجستیک در تحلیل سامانه های آشوبناک کاربرد دارد. این نگاشت را نیز می توان یک دنباله به رابطه زیر در نظر گرفت:

(2)

$\large x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

در رابطه (2)، $r$ و $x_{1}$ معلوم مسئله اند و با استفاده از این دو، دیگر جملات دنباله را بدست می آوریم.

* مثال 19-1)

ده جمله اول نگاشت لجستیک با $r=3$ و $x_{1}=0.1$ را محاسبه کنید.

پاسخ

دنباله بازگشتی را با استفاده از رابطه دو محاسبه می کنیم:

$x_{2}=0.27,x_{3}=0.73,x_{4}=0.59,x_{5}=0.73$

$x_{6}=0.60,x_{7}=0.72,x_{8}=0.61,x_{9}=0.71,x_{10}=0.62$

فکر می کنم به وضوح یک رفتار نوسانی که دامنه نوسان به کندی درحال کوچک شدن است؛ در جملات دنباله قابل مشاهده باشد.

3-19 جمع بندی فصل

در این فصل بوسیله دو مثال بسیار مهم، با دنباله های بازگشتی آشنا شدیم. این دو مثال در عین سادگی، کاربرد وسیعی در توصیف اقتصاد، فیزیک، زیست شناسی و دیگر شاخه های علوم دارند. البته در بطن این سادگی، اعماق تاریک و پیچیده ای وجود دارد!

*1- بیست جمله اول نگاشت لجستیک با $r=-1.2$ و $x_{1}=0.13$ را محاسبه کنید. سپس نموداری بکشید که محور y آن $x_{n}$ ها و محور x آن محور $n$ ها باشند. قبول دارم که نقاط گسسته هستند، هر نقطه را به نقطه بعدی خود به وسیله یک خط وصل کنید. شکل جالبی خواهید دید!