در این فصل قصد آشنایی با مفهوم اتحاد را داریم. یک رابطه را در صورتی اتحاد می نامیم که با جایگذاری هر عدد حقیقی به جای متغیرها، رابطه و تساوی برقرار باشد. برای مثال به رابطه زیر توجه کنید:

$x^2+y^2=(x+y{)}^2$

رابطه بالا به ازای $x=1$ و $y=0$ برقرار است اما به ازای $x=2$ و $y=5$ برقرار نیست. پس رابطه بالا یک اتحاد نخواهد بود. در این فصل به اثبات و معرفی چند اتحاد مشهور و پرکاربرد می پردازیم، پیش نیاز این اثبات ها، فصل 6، چندجمله ای است که می توانید ابتدا به آن مراجعه نمایید:

1-7 اتحاد مزدوج

یکی از مشهورترین اتحادهای ریاضی، اتحاد مزدوج است. رابطه آن به صورت زیر می باشد:

(1)

$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$

اثبات (1)

(شما این را در تمرین 6-2 اثبات کردید اما اگر رهگذرید:)همانطور که در فصل 6 با ضرب چندجمله ها آشنا شدیم؛ دو پرانتز را در هم ضرب می کنیم:

$(x+y)(x-y)=x^2-xy+yx-y^2$

واضح است که جمله دوم و سوم قرینه یکدیگرند، پس با هم حذف می شوند و رابطه (1) به دست می آید.

2-7 اتحاد مربع دو جمله

این اتحاد حاصل به توان دو رساندن یک عبارت مثل $a+b$ یا $a-b$ است:

(2)

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

(3)

$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$

اثبات (2)

عبارت $a+b$ را یکبار در خودش ضرب می کنیم:

$(x+y)(x+y)=x^2+xy+yx+y^2$

جمله و دوم سوم سمت راست تساوی یکسان هستند و باهم جمع می شوند. این رابطه (2) را می سازد. رابطه 3 نیز اثباتی کاملا مشابه و سرراست دارد که تمرین 1 این فصل است.

3-7 اتحاد مکعب دو جمله

در اینجا عبارت $a+b$ و $a-b$ را به توان سه رساند. به سادگی خواهیم داشت:

(4)

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

(5)

$(x+y{)}^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3$

یک کار بسیار خوب حفظ کردن این اتحادهاست! علامت منفی هم برای توان های فرد y است؛ این را می توان از مقایسه دو رابطه (5) و (6) با یکدیگر پی برد.

4-7 اتحاد چاق و لاغر

این اتحاد با نام دلربایش، کمی نیاز به دقت و توجه دارد. علامت هر کدام از جملات آن تله هستند. حواستان جمع باشد!:

(6)

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$

(7)

$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$

در اتحاد چاق و لاغر، علامت بین مکعب ها با علامت بین $x$ و $y$ در پرانتز اول یکسان است و با علامت $xy$ در پرانتز دوم مخالف. این را هم مواظب باشید که پرانتز دوم همان اتحاد مربع دوجمله نیست و ضریب xy در این اتحاد با اتحاد مربع دو جمله تفاوت دارد.

اثبات (6)

بدون شرح اضافی و بازهم با ضرب چندجمله ای ها این نیز اثبات می شود. در کل راه اثبات تمامی اتحادها ضرب چندجمله ای است:

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3-x^{2}y+x{y}^2+x^{2}y-x{y}^2+y^3$

حذف جملات یکسان منجر به رابطه (6) می شود. ( در اثبات این اتحادها خوب است همیشه جملات مرتبی از حاصل ضرب ها ایجاد کنید تا بتوان قرینه ها و همسان ها را به راحتی تشخیص داد. مثلا در هرجمله، اول x به توان فلان و بعد y به توان بهمان را بنویسید.)

5-7 جمع بندی فصل

در این فصل اثبات چند اتحاد پرکاربرد را آوردم. بازهم تاکید می کنم که بسیار کارگشا است اگر که روابط بالا را به خاطر بسپارید. برای تمرین بیشتر و اینکه دستتان با ضرب چندجمله ای ها بیشتر مانوس شود؛ چند اتحاد را در تمرین ها آورده ام.

 

تمرینات فصل

*1- رابطه (3) را اثبات نمایید.

*2- رابطه (7) را اثبات نمایید.

*3- روابط زیر را اثبات کنید:

الف)

(8)

$(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$

رابطه (8) به اتحاد مربع سه جمله ای مشهور است.

ب)

(9)

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax-by{)}^2+(ay+bx{)}^2$

رابطه (9) با کمی مشقت به دست می آید (اگر برایتان سخت بود هم سمت چپ تساوی و هم سمت راست را پیش ببرید تا به یک عبارت یکسان برسید). این رابطه به اتحاد لاگرانژ مشهور است.

پ)

(10)

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

رابطه (10) به اتحاد جمله مشترک شهرت دارد. جمع دو جمله نامشترک ضریب جمله مشترک می شود و حاصل ضربشان یک جمله دیگر.

شکل 7-1، ژوزف لویی لاگرانژ (1813-1736)، دانشمند بزرگ فرانسوی-ایتالیایی

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	6 چندجمله ای	7 اتحاد	8 معادله خط