در این فصل با چندجمله ای آشنا می شویم و این مفهوم ما را به مبحث کاربردی به نام اتحاد رهنمون می سازد. ابتدا باید روشن کنیم که به چه چیز جمله می گوییم؛ سپس این جمله ها درکنارهم چندجمله ای می سازند.

1-6 جمله

به سادگی از حاصل ضرب یک یا چند عدد (صحیح، گویا، گنگ و…) و یک یا چند متغیر که دارای توان نامنفی هستند ($0,1,2,…$) یک جمله ساخته می شود؛ مثال های زیر همگی جمله هایی مجزا هستند:

$\Large -\frac{7}{3} , 18x^{2}y , \frac{5}{2}z$

2-6 چندجمله ای

حال همانطور که گفتم، جمع چند جمله با یکدیگر، چندجمله ای می سازد. برای مثال عبارت زیر یک چند جمله ای یا سه جمله ای است:

$\Large 18x^{2}y+\frac{5}{2}z-\frac{7}{3} $

3-6 عملیات بر روی چندجمله ای ها

فکر می کنم که واضح است برای جمع و تفریق دو یا چند چندجمله ای باید چه کرد. ضرب چندجمله ای ها اما نیاز به اندکی دقت و تامل دارد. در ضرب چند جمله ای ها باید هر جمله عبارت اول در همه جملات عبارت دوم ضرب شود و سپس با هم جمع شوند، مثال زیر در درک این مسئله راهگشا است:

$\Large (7x+2y)(3xy-5x^{2}y^{5}-4)=[21x^{2}y-35x^{3}y^{5}-28x]+[6xy^{2}-10x^{2}y^{6}-8y]$

البته جالب است که برخلاف ضرب چندجمله ای ها حاصل تقسیم دو چند جمله ای لزوما چند جمله ای نیست:

$\Large \frac{8x^{2}+4x}{8x+4}=x $

عبارت بالا با ضرب مخرج در حاصل کسر قابل راستی آزمایی است.

*مثال 6-1)

حداکثر تعداد جملات حاصل ضرب یک پنج جمله ای در یک چهار جمله ای چند است؟

پاسخ

هر جمله پنج جمله ای باید در جهارجمله ضرب شود پس:

$\Large 5\times(4_{terms})=20_{terms}$

4-6 درجه چندجمله ای

دیگر مفهومی که خالی از لطف نیست به آن اشاره کنم، درجه چندجمله ای نسبت به یکی از متغیرهای آن است. به سهولت و آسانی بزرگترین توان آن متغیر همان درجه چندجمله ای نسبت به متغیر مورد نظر است:

$ \Large 7xy^{3}+8x^{6}z-\frac{11}{9}xyz$

در عبارت بالا درجه چند جمله ای نسبت به x، شش، نسبت به y، سه و نسبت به z یک است. مفهوم درجه در شناخت رفتار چندجمله ای کاربرد بسزایی دارد.

5-6 جمع بندی فصل

نکته خاصی به نظرم نمی آید که بحث را کامل کند! صرفا جمله و چندجمله ای را تعریف کردیم اما همین عبارات پایه و اساس محاسبات جبری ساده و پیچیده در آینده خواهند بود. البته به نظر می رسد که فصل های دانسته آنچنان هم منظم نیستند!

*1- ابتدا حداکثر تعداد جملات چندجمله ای زیر را مشخص کرده و سپس چندجمله ای را بدست آورید. چندجمله ای حاصل چه تعداد جمله منحصر به فرد دارد. (دقت کنید منظور از منحصر به فرد این است که جمع دو جمله از چندجمله ای به یک جمله منجر نشود؛ مثلا 2x و x منحصر به فرد نیستند)

$\Large (2x+3)(7y-16x) = $

*2- چندجمله ای زیر را بدست آورید(جملات منحصر به فرد باشند).

$\Large (a+b)(a-b) = $

اگر به درستی محاسبه کنید؛ عبارت حاصل شکل $\Large a^{2}-b^{2} $ دارد. برابری عبارت حاصل با عبارت صورت سوال را اتحاد مزدوج گویند. به ازای هرعددی به جای $a$ و $b$ این رابطه برقرار است (به همین علت به آن اتحاد می گویند).