در این فصل می خواهیم به سراغ غولی به نام معادله برویم و ساده ترین معادلات ممکن را حل کنیم. تقریبا پایه و اساس هرچیز همین حل معادله است! در کودکی هم این کار را بدون اینکه بدانید انجام داده اید اما این بار می خواهیم به صورت نظام مند به حل معادلات بپردازیم.

1-5 تعریف

در نگاه اول معادله درجه یک، همان چند جمع و تفریق و ضرب و تقسیم ساده برای رسیدن به یک حاصل است. معادله درجه یک به فرم زیر است:

(1)

$ \Large ax+b=c $

که در آن $ a,b,c $ معلوم و مقادیری مشخص اند و تنها معمای عبارت بالا $x$ است.

شاید فرم بالا کمی عجیب به نظر برسد. تاحالا مجهولی ندیده بودیم. حقیقت این است که مجهول همیشه بوده اما به تنهایی در یک طرف تساوی! پس نیازی به اطلاق نام به آن وجود نداشته است. بهترین کار این است که باز هم مجهول را به تنهایی در یک طرف تساوی ببریم. در آن صورت دوباره می توان یک عبارت بدون هیچ مجهولی در یک طرف تساوی داشت و آن را حل کرد که چند عملیات ساده است، برای این کار $b-$ را به دو طرف معادله اضافه می کنیم:

$ \Large ax+b-b=c-b $

$ \Large ax=c-b $

می خواهیم $x$ را تنها کنیم. برای این کار لازم است ضریب $x$ را $1$ اختیار کنیم. حال اشکالی ندارد که هردو طرف معادله را بر $a$ تقسیم کنیم:

$ \Large \frac{ax}{a}=\frac{c-b}{a} $

واضح است که a در سمت چپ معادله از صورت و مخرج حذف می شود:

(2)

$ \Large x=\frac{c-b}{a} $

حال جواب معادله را یافتیم! هر تعداد ضرب و تقسیم پیچیده هم در صورت معادله باشد، ابتدا آن را به فرم رابطه (1) در آورده و می دانیم که جواب معادله رابطه (2) است.

* مثال 5-1)

برای سفری یک روزه به ارمنستان، نیاز به 560 درام ارمنستان (واحد پول این کشور) داریم. فرض کنید که موجودی حساب بانکی من 250000 تومان پول داشته باشد؛ آیا موجودی حساب من برای رفتن به صرافی کافی است؟ هر درام ارمنستان را 500 تومان در نظر بگیرید.

پاسخ

این مسئله همان معادله درجه اول است. ضریب مجهول نرخ تبدیل تومان به درام (500) است و $500x$ را مساوی موجودی حساب من قرار می دهیم تا ببینیم چند درام به دست می آید، در چنین مسائلی نوشتن واحد هرمقدار معلوم یا مجهول کارساز است، چون میتوان آنها را نیز باهم ساده کرد:

$\Large 500_{\frac{Tooman}{Dram}}x_{Dram}=250000_{Tooman}$

$\Large x=500_{Dram}$

متاسفانه پول من برای سفر به ارمنستان کافی نیست. $560 > 500$

2-5 جمع بندی فصل

فکر می کنم پس از یادگیری معادلات درجه اول، به حرف من در مقدمه رسیدید! علت نامگذاری این معادله به درجه اول هم توان مجهول معادله است که با 1 برابر است. پس انتظار دارید که معادلات درجات بالاتر نیز داشته باشیم؟! درست است. به آنها هم خواهیم رسید.

*1- معادله رو به رو را حل کنید (راهنمایی: مجهول باید تنها در یک سمت معادله ظاهر شود):

$\Large 6t+4=2t-5 $