انتگرال گیری جزء به جزء، روشی است که بوسیله آن می توان برخی از انتگرال های حاصل ضرب توابع (که ظاهر دشواری دارند) به سادگی محاسبه کرد. این قاعده، بر مشتق گیری حاصل ضرب استوار است.

1-51 اثبات

همانطور که گفتم این روش انتگرال گیری به مشتق گیری حاصل ضرب توابع مربوط است. از فصل 43 می دانیم:

(1)

$\large (f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

عبارت بالا را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

(2)

$\large f'(x)g(x)=(f(x)g(x))’-f(x)g'(x)$

حال از دو طرف انتگرال می گیریم؛ برای جمله اول سمت راست تساوی $f(x)g(x)$ تابع اولیه است؛ پس صورت نامعین انتگرال گیری جزء به جزء به صورت زیر بدست می آید:

(3)

$\large \displaystyle{\int f'(x)g(x) \mathrm{d}x}=f(x)g(x)-\displaystyle{\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x}$

صورت معین هم تنها از محاسبه سه جمله در ابتدا و انتهای بازه بدست می آید، برای انتگرال گیری در بازه $a$ تا $b$ داریم:

(4)

$\large \displaystyle{\int^{b}_{a} f'(x)g(x) \mathrm{d}x}=\displaystyle{f(x)g(x)|^{b}_{a}}-\displaystyle{\int^{b}_{a} f(x)g'(x)\mathrm{d}x}$

روش جزء به جزء در دو شرایط عمده کاربردی است؛ اولین شرایط، هنگامی است که یکی از توابع ضربی، چندجمله ای تواندار باشد؛ می توان با این روش (شاید چندبار استفاده از آن)، انتگرال را محاسبه کرد. چون چندجمله ای تواندار با چندبار مشتق گیری ناپدید می شود. مثال 51-1 به همین شرایط اشاره دارد.

*مثال 51-1)

انتگرال مقابل را محاسبه نمایید.

$\large \displaystyle{\int x^{2}\sin(x) \mathrm{d}x}$

پاسخ

چون می خواهیم $x^2$ نابود شود؛ آن را $g(x)$ در نظر می گیریم و تابع سینوس را $f'(x)$. بنابراین از رابطه (3) داریم:

$\large \displaystyle{\int x^{2}\sin(x) \mathrm{d}x}=-\cos(x)x^{2}+\displaystyle{\int 2x(\cos(x)) \mathrm{d}x}$

حال برای انتگرال سمت راست تساوی نیز یک جزء به جزء می گیریم. باز هم نیاز است از $2x$ مشتق گرفته شود؛ آن را $g(x)$ در نظر می گیریم و تابع کسینوس را $f'(x)$. بنابراین از رابطه (3) داریم:

$\large \displaystyle{\int 2x(\cos(x)) \mathrm{d}x}=2x\sin(x)-\displaystyle{\int 2(\sin(x)) \mathrm{d}x}$

خوشبختانه کار انتگرال گیری به پایان رسیده چون انتگرال سینوس را می دانیم:

$\large \displaystyle{\int 2x(\cos(x)) \mathrm{d}x}=2x\sin(x)+2\cos(x)$

بنابراین حاصل بدست می آید و خوب است که آن را با یک ثابت نیز جمع کنیم:

$\large \displaystyle{\int x^{2}\sin(x) \mathrm{d}x}=-\cos(x)x^{2}+2x\sin(x)+2\cos(x)+C$

دومین شرایط جزء به جزء، تکرار انتگرال است. یعنی پس از چندبار جزء به جزء گیری، دوباره به همان انتگرال اولیه برسیم. واضح است که برای این اتفاق نیاز به توابعی تناوبی و تکرار شونده مثل توابع مثلثاتی و توابع نمایی است. مثال 51-2 ناظر بر همین شرایط است.

*مثال 51-2)

انتگرال روبه رو را محاسبه نمایید.

$\large \displaystyle{\int e^{x} \cos(x) \mathrm{d}x}$

پاسخ

تابع کسینوس را $g(x)$ در نظر می گیریم و تابع نمایی را $f'(x)$ و جزء به جزء را به میان می آوریم:

$\large \displaystyle{\int e^{x} \cos(x) \mathrm{d}x}=e^{x}\cos(x)+\displaystyle{\int e^{x} \sin(x) \mathrm{d}x}$

اکنون تابع سینوس را $g(x)$ و تابع نمایی را $f'(x)$ می گیریم:

$\large \displaystyle{\int e^{x} \sin(x) \mathrm{d}x}=e^{x}\sin(x)-\displaystyle{\int e^{x} \cos(x) \mathrm{d}x}$

عبارت اول را بازنویسی می کنیم:

$\large \displaystyle{\int e^{x} \cos(x) \mathrm{d}x}=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\displaystyle{\int e^{x} \cos(x) \mathrm{d}x}$

دو انتگرال سمت چپ و راست یکسانند؛ پس هردو را در سمت چپ تساوی قرار می دهیم و کل عبارت را بر 2 تقسیم می کنیم. بنابراین کار تمام است و یک ثابت به حاصل می افزاییم:

$\large \displaystyle{\int e^{x} \cos(x) \mathrm{d}x}=\frac{1}{2}e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C$

2-51 جمع بندی فصل

در این فصل با انتگرال گیری جزء به جزء آشنا شدیم. کسب مهارت در این مبحث، نیازمند تمرین و تکرار است با این حال تمرین 51-1 کاملا مشابه مثال های فصل است که می توانید از آن بهره ببرید.

– حاصل انتگرال های زیر را بیابید.

*1-

$\large \displaystyle{\int e^{x} \sin(x) \mathrm{d}x}$

*2-

$\large \displaystyle{\int 4x^{3}\cos(x) \mathrm{d}x}$

*3-

$\large \displaystyle{\int xe^{x} \mathrm{d}x}$