در این فصل قصد داریم به انتگرال تابع نمایی و لگاریتمی بپردازیم. مطابق معمول، انتگرال را به چشم پادمشتق می بینیم و با استفاده از مشتق گیری، پی به انتگرال های نامعین مدنظرمان می بریم. رجوع به فصل 46 می تواند در یادگیری این فصل راهگشا باشد.

1-50 تابع نمایی طبیعی

می دانیم که مشتق تابع نمایی طبیعی، خودش است. پس این قاعده برای عکس عمل مشتق نیز صدق می کند. انتگرال تابع نمایی طبیعی نیز خودش است:

(1)

$\large \displaystyle{\int e^{x} \mathrm{d}x}=e^{x}+C$

با استفاده از مشتق گیری می توان پی به قاعده کلی برای انتگرال توابع نمایی $e^{ax}$ برد:

$\large \displaystyle{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{1}{a} e^{ax})}=e^{ax}$

بنابراین قاعده کلی انتگرال برای تابع نمایی طبیعی به صورت زیر است:

(2)

$\large \displaystyle{\int e^{ax} \mathrm{d}x}=\frac{1}{a}e^{ax}+C$

2-50 لگاریتم طبیعی

همانطور که از انتگرال گیری چندجمله ای تواندار می دانیم؛ $\frac{1}{x}$ عبارت بدنامی است که انتگرال آن از رابطه 46-4 قابل دستیابی است:

(3)

$\large \displaystyle{\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x}=\ln{|x|}+C$

بدین ترتیب لگاریتم طبیعی حاصل انتگرال بالا است. حال می خواهیم بدانیم انتگرال خود $\ln{(x)}$ چیست. باید به شکلی خردمندانه، عبارتی بسازیم که مشتق آن لگاریتم طبیعی باشد:

$\large \displaystyle{\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x\ln{(x)}-x)}=\ln{(x)}+x\frac{1}{x}-1=\ln{(x)}$

از عبارت بالا به انتگرال لگاریتم طبیعی می رسیم:

(4)

$\large \displaystyle{\int \ln{(x)} \mathrm{d}x}=x\ln{(x)}-x+C$

3-50 تابع نمایی و لگاریتم با پایه دلخواه

از رابطه 46-5 به سادگی، انتگرال تابع نمایی با پایه دلخواه $a$ بدست می آید:

(5)

$\large \displaystyle{\int a^{x} \mathrm{d}x}=\frac{a^{x}}{\ln(a)}+C$

برای انتگرال لگاریتم با پایه دلخواه $a$، این خاصیت مفید لگاریتم را در نظر می گیریم:

(6)

$\log_{a}{(x)}=\displaystyle{\frac{\ln{(x)}}{\ln{(a)}}}$

حال از $\log_{a}{(x)}$ انتگرال می گیریم:

$\large \displaystyle{\int \log_{a}{(x)} \mathrm{d}x}=\frac{1}{\ln{(a)}}\displaystyle{\int \ln{(x)} \mathrm{d}x}$

انتگرال حاصل همان رابطه (4) است؛ بنابراین کار تمام است:

(7)

$\large \displaystyle{\int \log_{a}{(x)} \mathrm{d}x}=\displaystyle{\frac{x\ln{(x)}-x}{\ln(a)}}+C$

*مثال 50-1)

انتگرال نامعین زیر را بدست آورید.

$\large \displaystyle{\int \sin{(2x)}+3^{x} \mathrm{d} x}$

پاسخ

این مثال بسیار دستگرمی و ساده است، پاسخ هردو جمله انتگرال به راحتی بدست می آید:

$\large \displaystyle{\int \sin{(2x)}+3^{x} \mathrm{d} x}=\displaystyle{\frac{-1}{2}\cos{(2x)}+\frac{3^{x}}{\ln{(3)}}}+C$

4-50 جمع بندی فصل

با انتگرال تابع نمایی و لگاریتمی آشنا شدیم. حال تمامی توابع مشهور را در اختیار داریم تا دو روش مهم برای انتگرال گیری توابع حاصل ضربی و ترکیبی را بررسی کنیم. این دو روش موضوع دو فصل بعدی ماست.

1- حاصل انتگرال زیر را بیابید.

$\large \displaystyle{\int 2\log_{4}{(x)}+e^{6x} \mathrm{d} x}$