در فصول قبل با توابع نمایی و لگاریتمی آشنا شدیم. اکنون زمان آن رسیده که به مشتق آنها بپردازیم. تابع نمایی طبیعی $e^{x}$ یک خاصیت جالب دیگر نیز دارد؛ اینکه مشتق آن برابر با خودش است. برای بدست آوردن مشتقات چنین توابعی ابتدا بهتر است با نمادگذاری کارآمد لایب نیتس آشنا شویم.

شکل 46-1، گوتفرید ویلهلم لایب نیتس، فیلسوف، ریاضی دان و فیزیکدان آلمانی (1716-1646)

1-46 نمادگذاری لایب نیتس

نمادگذاری لایب نیتس برای مشتق شرح ساده ای دارد. تابعی که می خواهیم از آن مشتق بگیریم را در نظر بگیرید $y=f(x)$؛ با توجه به اینکه متغیر مستقل تابع ما تنها $x$ است؛ زمانی که می خواهیم از تابع بر حسب $x$ مشتق بگیریم؛ می توانیم به جای $f'(x)$ آن را با نماد زیر نیز نمایش دهیم:

(1)

$\Large f'(x)=\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$

مشتقات مرتبه بالاتر نیز به صورت زیر نمایش داده می شود که در آن $n$ مرتبه مشتق است:

(2)

$\Large f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{d} x^{n}}$

*مثال 46-1)

در صورتی که $y=\sin(x)$، $\Large \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ را محاسبه کنید.

پاسخ

هدف محاسبه مشتق دوم سینوس است؛ مشتق اول سینوس برابر با $\large \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\cos(x)$ و برای محاسبه مشتق دوم، کافی است از کسینوس مشتق بگیریم $\large \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=-\sin(x)$.

---

2-46 مشتق تابع نمایی طبیعی و لگاریتم طبیعی

معجزه ای دیگر از تابع نمایی طبیعی این است که مشتق آن برابر با خودش است!

(3)

$\large \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(e^{x})=e^{x}$

مشتق لگاریتم طبیعی یا $\ln$ نیز به صورت زیر است:

(4)

$\large \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\ln(x))=\frac{1}{x}$

3-46 مشتق تابع نمایی

حال می خواهیم تابع نمایی در حالت کلی را بررسی کنیم $a^{x}$، مشتق تابع نمایی با پایه دلخواه نیز به وسیله خواص لگاریتم قابل دستیابی است:

تابع نمایی $y=a^{x}$ را در نظر بگیرید؛ از دو طرف $\ln$ می گیریم (لگاریتم بر مبنای عدد اویلر یا لگاریتم طبیعی):

$\large \ln(y)=\ln(a^{x})$

$x$ در توان آرگومان است و می تواند ضریب لگاریتم شود:

$\large \ln(y)=x\ln(a)$

حال از دو طرف بر حسب $x$ مشتق می گیریم، طرف چپ تساوی بالا، نیاز به قاعده زنجیره ای دارد و از رابطه (4) نیز بهره خواهیم برد:

$\large \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\frac{1}{y}=\ln(a)$

با در نظر گرفتن $y=a^{x}$ و مرتب کردن عبارت بالا، مشتق تابع نمایی بدست می آید:

(5)

$\large \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(a^{x})=a^{x} \ln(a)$

از رابطه (5) می توان صحت رابطه (3) را بررسی کرد. $\ln(e)$ برابر با یک است و رابطه (3) بدست می آید.

4-46 مشتق لگاریتم با پایه دلخواه

مسیری مشابه بخش 46-3، ما را به مشتق لگاریتمی با پایه دلخواه $y=\log_{a}(x)$ رهنمون می سازد. ابتدا از هردو طرف را نمای $a$ قرار می دهیم و مطابق خواص لگاریتم $a^{\log_{a}(x)}=x$ است:

$\large a^{y}=x$

سپس از دو طرف بر حسب $x$ مشتق می گیریم که طرف چپ نیاز به قاعده زنجیره ای دارد، همچنین برای مشتق تابع نمایی از رابطه (5) استفاده می کنیم:

$\large \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} x}a^{y} \ln(a)=1$

با درنظر گرفتن $\large a^{y}=x$، مشتق لگاریتم با پایه دلخواه بدست می آید.

(6)

$\large \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\log_{a}(x))=\frac{1}{x \ln(a)}$

می توان هماهنگی رابطه (6) و (2) را با برقراری $a=e$ بررسی کرد.

*مثال 46-2)

از تابع $f(x)=x^{2}\log_{2}(x)$ مشتق بگیرید.

پاسخ

از مشتق حاصل ضرب استفاده می کنیم:

$\large \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d} x}=2x\log_{2}(x)+\frac{x}{\ln(2)}$

با استفاده از خواص لگاریتم، می توان حاصل را زیباتر نمود:

$\large\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d} x}=2x\frac{\ln(x)}{\ln(2)}+\frac{x}{\ln(2)}=\frac{2x\ln(x)+x}{\ln(2)}$

---

5-46 جمع بندی فصل

پس از چندجمله ای های تواندار و توابع مثلثاتی، در این فصل با نحوه مشتق گیری از توابع نمایی و لگاریتمی آشنا شدیم.

 

تمرینات فصل

**1- از توابع زیر مشتق بگیرید. (به قاعده زنجیره ای حتما توجه کنید)

$\large y=ln(x^3)$

$\large y=log_{3}(\sin(x)e^{2x})$

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	45 مشتق : قاعده هوپیتال	46 مشتق : تابع نمایی و لگاریتمی	47 انتگرال : مقدمه