در این فصل، به طریقه ای از محاسبه حدهای مبهم می پردازیم که با مشتق گیری از دو تابع صورت و مخرج صورت می پذیرد. بکارگیری این روش برای نخستین بار به گیوم دو لوپیتال، ریاضی دان فرانسوی نسبت داده می شود. به همین جهت این قاعده را قاعده هوپیتال می نامند.

1-45 اثبات

می خواهیم حد صفر صفرم زیر را محاسبه کنیم؛ تابع $f(x)$ و $g(x)$ هردو در $a$ صفر می شوند:

(1)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}}$

با توجه به اینکه $f(a)$ و $g(a)$ هردو صفرند؛ می توان هردو را از صورت و مخرج به صورت زیر کم کرد:

(2)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}}$

همچنین هم صورت و هم مخرج را بر $x-a$ تقسیم می کنیم:

(3)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}}}$

واضح است که در صورت و مخرج، تعریف مشتق شکل گرفته است؛ بدین ترتیب به این شرط که توابع در بازه نزدیک $a$ مشتق پذیر و خوش رفتار باشند. می توان به جای خود توابع، حد حاصل تقسیم مشتق آن ها را محاسبه کرد؛ در صورت مبهم (صفر صفرم) بودن حاصل تقسیم مشتق ها، باز نیز می توان برای محاسبه حاصل حد مشتق گرفت.

(4)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)}}}= \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$

*مثال 45-1)

حاصل حد زیر را محاسبه کنید.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin{(x)}}{x}}}$

پاسخ

برای محاسبه این حد، تنها کافی است از قاعده هوپیتال استفاده کنیم و یکبار از صورت و مخرج مشتق بگیریم:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin{(x)}}{x}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\cos{(x)}}{1}=\cos{(0)}=1}}$

*مثال 45-2)

حاصل حد زیر را پیدا کنید.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^{6}+3x^{2}+4x}{x^{4}+16x}}}$

پاسخ

حد عبارت پیچیده بالا، به سادگی با قاعده هوپیتال و مشتق چندجمله ای های تواندار قابل محاسبه است:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x^{6}+3x^{2}+4x}{x^{4}+16x}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{6x^{5}+6x+4}{4x^{3}+16}}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

2-45 جمع بندی فصل

در این فصل، با یکی از کاربردهای مهم مشتق یعنی قاعده هوپیتال آشنا شدیم. قاعده هوپیتال به رفع ابهام هایی که هم صورت و هم مخرج بی نهایت می شود نیز قابل تعمیم است. فکر می کنم که این قاعده، بسیار روانتر و کاربردی تر از رفع ابهام با تجزیه و اتحاد است و یادگیری آن می تواند به حل طیف وسیعی از مسائل حد های مبهم کمک کند.

*1- از قاعده هوپیتال، حد زیر را محاسبه کنید:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin{(x)}\cos{(x)}}{x}}}$