در این فصل، قصد آشنایی با مشتق ترکیب توابع را داریم. ابتدا به این موضوع خواهیم پرداخت که توابع چگونه در یکدیگر ترکیب می شوند و می توان از ترکیب آن ها مشتق گرفت. به این قاعده مشتق گیری، قاعده زنجیره ای می گویند. پس از آن از این نوع مشتق گیری استفاده می کنیم تا مشتق تقسیم دو تابع را بدست آوریم.

1-44 ترکیب توابع

توابع می توانند همچون عروسک های ماتروشکا، تودرتو و ترکیبی باشند. برای روشن شدن این موضوع به چند مثال توجه کنیم:

دو تابع $f(x)=x^{2}$ و تابع $g(x)=\sin(x)$ را در نظر بگیرید؛ فرض کنید می خواهیم که دو تابع را باهم ترکیب کنیم؛ این کار به دو روش امکان پذیر است؛ اول می توانیم تابع $f$ را داخل تابع $g$ قرار دهیم. به این معنا که در تعریف $g$ هر $x$ تبدیل شود به $f(x)$؛ بنابراین داریم:

$\large g(f(x))=\sin(f(x))=\sin(x^2)$

همچنین امکان قراردادن $g$ در $f$ نیز، مشابه بالا وجود دارد:

$\large f(g(x))=g(x)^{2}=\sin^{2}(x)$

می توان توابع بیشتری را نیز باهم ترکیب کرد. بسیاری از توابعی که باید از آن ها مشتق بگیریم؛ توابع ترکیبی هستند. حال می خواهیم به مشتق گیری از این توابع بپردازیم.

2-44 قاعده زنجیره ای

قاعده زنجیره ای، نحوه مشتق گیری از توابع ترکیبی را آشکار می سازد. شیوه کار این است که از درونی ترین تابع شروع به مشتق گیری می کنیم و هر دفعه به توابع خارجی تر می رویم و از آن ها نیز مشتق می گیریم. سپس حاصل ضرب این مشتق ها، مشتق تابع ترکیبی ما است. یک مثال می تواند به درک این موضوع کمک کند. فرض کنید سه تابع $f(x)=\sin(x)$ و $g(x)=x^{3}$ و $u(x)=\cos(x)$ را با هم به شکل $f(g(u(x)))$ ترکیب کرده ایم:

$\large g(u(x))=\cos^{3}(x) \rightarrow f(g(u(x)))=\sin(\cos^{3}(x))$

ابتدا از درونی ترین تابع یعنی $u(x)$ مشتق می گیریم:

$\large u'(x)=-\sin(x)$

تابع بعدی که مطابق قاعده باید از آن مشتق گرفت $g(u(x))$ است (به این نکته توجه کنید که تابع ما باید حاوی توابع درونی خود باشد):

$\large g'(x)=3x^{2} \rightarrow g'(u(x))=3\cos^{2}(x)$

الان باید از تابع $f(g(u(x)))$ با همان ملاحظات مرحله قبل، مشتق گرفت:

$\large f'(x)=\cos(x) \rightarrow f'(g(u(x)))=\cos(\cos^{3}(x))$

حاصل ضرب نتیجه هرسه مرحله، مشتق تابع ترکیبی ما است:

(1)

$\large [f(g(u(x)))]’=u'(x).g'(u(x)).f'(g(u(x)))$

که برای مثال حاصل بدین صورت خواهد بود:

$\large [f(g(u(x)))]’=-3\sin(x)\cos^{2}(x)\cos(\cos^{3}(x))$

بدین ترتیب می توان از هر تعداد تابع ترکیب شده درهم با قاعده زنجیره ای مشتق گرفت.

3-44 مشتق حاصل تقسیم

حال با دانستن قاعده زنجیره ای، همه چیز برای یادگیری مشتق $\frac{f(x)}{g(x)}$ آماده است. عبارت تقسیم دو تابع را می توان به صورت زیر نیز درنظر گرفت (منفی یک توان تابع است نه تابع معکوس $g$):

(2)

$\large f(x)\: [g(x)]^{-1}$

تابع $w(x)=x^{-1}$ را درنظر بگیرید. اگر دوباره به ترکیب توابع توجه کنیم؛ می توان $[g(x)]^{-1}$ را ترکیب دو تابع $w$ و $g$ دانست:

$\large w(g(x))=[g(x)]^{-1}$

بدین ترتیب در رابطه (2) را می توان به صورت زیر نوشت.

(3)

$\large f(x)\: w(g(x))$

مشتق عبارت بالا را از مشتق حاصل ضرب می دانیم:

(4)

$\large [f(x)w(g(x))]’=f'(x)w(g(x))+f(x)[w(g(x))]’$

مشتق $[w(g(x))]’$ از قاعده زنجیره ای قابل محاسبه است:

(5)

$\large [w(g(x))]’=g'(x)w'(g(x))=g'(x)[-g(x)^{-2}]=\frac{-g'(x)}{g^{2}(x)}$

رابطه (4) را با استفاده از (5) بازنویسی می کنیم:

$\large [\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f'(x)}{g(x)}+\frac{-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}$

مخرج مشترک گیری، رابطه مشهور قاعده تقسیم در مشتق گیری را می سازد:

(6)

$\large [\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}$

که برای محاسبه مشتق لازم است مخرج باید مخالف صفر باشد. $g(x)\neq 0$

*مثال 44-1)

مشتق $f(x)=\tan(x)$ را محاسبه کنید.

پاسخ

از تعریف $\tan(x)$ می دانیم:

$\large \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

از قاعده تقسیم یا رابطه (6) استفاده می کنیم:

$\large (\tan(x))’=\frac{\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{1}{\cos^{2}(x)}$

---

4-44 جمع بندی فصل

در این فصل با قاعده زنجیره ای و قاعده تقسیم آشنا شدیم که در کنار قاعده ضرب، می تواند محاسبه بخش کثیری از مشتقات توابع را برای ما ممکن سازد. همچنین به مبحث ترکیب توابع پرداختیم.

 

تمرینات فصل

*1- به وسیله قاعده زنجیره ای و قاعده حاصل ضرب مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$\large p(x)=\sin(\cos(x)) \: x^{\frac{3}{2}}$

*2- مشتق $\cot(x)$ را بدست آورید.

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	43 مشتق : قاعده ضرب	44 مشتق : قاعده زنجیره ای	45 مشتق : قاعده هوپیتال