در این فصل به مشتق گیری از دو تابع که در یکدیگر ضرب شده اند؛ می پردازیم. به عنوان مثال، مشتق ضرب یک تابع مثلثاتی در چندجمله ای توان دار می تواند برای ما حائز اهمیت باشد. نتیجه به توابع بیشتر نیز قابل تعمیم خواهد بود.

1-43 قاعده ضرب

دو تابع $f$ و $g$ را در نظر بگیرید که درهم ضرب شده اند؛ برای محاسبه، بهتر است از تعریف مشتق استفاده کنیم:

$(f(x)g(x))’=\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}}$

به صورت کسر یک عبارت $f(x)g(x+h)$ اضافه و کم می کنیم:

$=\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}}$

در جمله اول و سوم صورت از $g(x+h)$ و در جمله دوم و چهارم نیز از $f(x)$ فاکتور می گیریم:

$=\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}$

از قضایایی حد می دانیم که حد حاصل ضرب دو تابع، حاصل ضرب حد تابع یک و حد تابع دو در آن نقطه است؛ واضح است که:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{g(x+h)}}=g(x)$

بنابراین کسرهای باقی مانده، تنها همان تعریف مشتق دو تابع $f(x)$ و $g(x)$ هستند و بدین ترتیب قاعده ضرب بدست می آید:

(1)

$\large (f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

برای حاصل ضرب بیش از دو تابع (مثلا سه تابع) مثل $f$ و $g$ و $u$ می توان دو تابع خاص را یک تابع درنظر گرفت تا قاعده حاصل ضرب آن ها نیز بدست آید:

(2)

$\large (fgu)’=(fg)’u+(fg)u’=(f’g+g’f)u+fgu’=f’gu+fg’u+fgu’$

*مثال 43-1)

مشتق تابع $u(x)=x^{2}\sin(x)$ را بیابید.

پاسخ

در نظر می گیریم $f(x)=x^{2}$ و $g(x)=\sin(x)$ و از رابطه (1) استفاده می کنیم:

$\large u'(x)=(2x)(\sin(x))+(x^{2})(\cos(x))$

2-43 جمع بندی فصل

در این فصل با قاعده حاصل ضرب و نحوه بدست آوردن آن از تعریف مشتق آشنا شدیم. همانطور که ذکر شد این رابطه برای توابع بیشتر ضربی نیز صادق و قابل تعمیم است.

*1- مشتق $u(x)=3x^{3}\cos(x)$ را بیابید. سپس $u'(0)$ را محاسبه کنید.