در این فصل به نحوه مشتق گیری از توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس می پردازیم. باید در نظر داشت که بسیاری از رفتارهای سامانه های طبیعی به صورت تناوبی است و برخی از کمیت، بوسیله مشتق دیگر کمیات فیزیکی بدست می آید. بنابراین مشتق گیری از توابع مثلثاتی اهمیت بسزایی دارد.

1-42 مشتق سینوس

مشتق سینوس کسینوس است. برای اثبات این گزاره، از تعریف حد بهره می بریم:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}}$

حال خوب است که عبارت $\sin(x+h)$ را با استفاده از رابطه جمع دو زاویه بشکانیم:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}}}$

$h$ به سمت صفر می رود پس کسینوس آن یک است؛ بدین ترتیب جمله اول و سوم صورت عبارت با یکدیگر ساده می شود؛ از طرفی می دانیم:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sin(h)}{h}=1}}$

بنابراین حاصل حد $\cos(x)$ خواهد بود:

(1)

$\large (\sin(x))’=\cos(x)$

2-42 مشتق کسینوس

مشتق کسینوس، منفی سینوس است. برای اثبات این گزاره تعریف حد را می نویسیم:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}}$

حال خوب است که عبارت $\cos(x+h)$ را با استفاده از رابطه جمع دو زاویه بشکانیم:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}}}$

با فاکتور گیری از $-\cos(x)$ خواهیم داشت:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{-\cos(x)(1-\cos(h))-\sin(x)\sin(h)}{h}}}$

دو عبارت زیر را می دانیم:

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\sin(h)}{h}=1}}$

$\large \displaylines{\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{1-\cos(h)}{h}=0}}$

بدین ترتیب جمله اول حد به طور کامل حذف می شود و مشتق کسینوس بدست می آید:

(2)

$\large (\cos(x))’=-\sin(x)$

3-42 جمع بندی فصل

در این فصل کوتاه، دو رابطه بسیار مهم را اثبات کردیم. مشتقات دیگر توابع مثلثاتی نیز با یادگیری روش هایی قابل محاسبه است که در آینده به آن می پردازیم.

*1- با فرض عبارت $\large \displaylines{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sin(x)}{x}=1}}$ حد زیر را محاسبه کنید:

$\large \displaylines{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1-\cos(x)}{x}=0}}$

(راهنمایی: صورت و مخرج عبارت بالا را در مزدوج صورت ضرب کنید)