در این فصل از چندجمله ای های توانی مشتق می گیریم. فصل قبل با تعریف مشتق آشنا شدیم و در اینجا از همان تعریف برای مشتق گیری از چند جمله ای های توانی استفاده خواهیم کرد.

1-41 مشتق جمع چند تابع

از تعریف مشتق به آسانی می توان دریافت که مشتق مجموع چند تابع مشتق پذیر در نقطه ای خاص، برابر است با مجموع مشتق هریک از این توابع در همان نقطه. به سادگی می توان این قضیه را برای دو تابع اثبات نمود و به توابع بیشتر تعمیم داد. فرض کنید دو تابع $f(x)$ و $g(x)$ در $x=a$ مشتق پذیرند؛ می خواهیم مشتق تابع $k(x)=f(x)+g(x)$ را در $x=a$ محاسبه کنیم:

$\large k'(a)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{k(x)-k(a)}{x-a}}}$

حال از $k(x)=f(x)+g(x)$ استفاده می کنیم:

$\large k'(a)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)+g(x)-f(a)-g(a)}{x-a}}}$

سپس دو کسر را تفکیک می کنیم تا تعریف مشتق دو تابع شکل بگیرید:

$\large k'(a)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}}$

(1)

$\large k'(a)=f'(x)+g'(x)$

دیگر می توان توابعی مثل $6x+x^{2}$ را به سادگی با استفاده از رابطه (1) مشتق گرفت. صرفا باید بدانیم از هرجمله چگونه باید مشتق بگیریم.

2-41 مشتق عبارت تواندار

در این بخش می خواهیم از عباراتی همچون $f(x)=kx^{n}$ مشتق بگیریم که در آن $k$ عددی ثابت است. از تعریف مشتق در $x=a$ استفاده می کنیم:

$\large f'(a)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{kx^{n}-ka^{n}}{x-a}}}$

از $k$ فاکتور می گیریم و عبارت صورت را تجزیه می کنیم:

$\large f'(a)=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}{\frac{(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+…+a^{n-2}x+a^{n-1})}{x-a}}}$

با ساده کردن عامل مشترک صورت و مخرج عبارت زیر حاصل حد است:

$\large f'(a)=k(a^{n-1}+a^{n-1}+…+a^{n-1}+a^{n-1})$

جمله $a^{n-1}$ در پرانتز $n$ بار تکرار شده؛ پس حاصل به صورت زیر است:

$\large f'(a)=kna^{n-1}$

حاصل بالا را می توان به تمامی $x=a$ هایی که در آن $f$ پیوسته است تعمیم داد؛ پس تابع مشتق به صورت زیر بدست می آید:

(2)

$\large f'(x)=knx^{n-1}$

با اینکه اثبات برای $n$ های طبیعی به کار می آید اما رابطه (2) برای $f(x)=kx^{n}$ به ازای هر $n$ حقیقی قابل تعریف است.

*مثال 41-1)

تابع مشتق را برای $f(x)=5x^{2}-x^{\frac{-1}{3}}+4x$ محاسبه کنید.

پاسخ

از رابطه دو برای تمامی جملات استفاده می کنیم:

$f'(x)=(5)(2)x^{2-1}+(-1)(\frac{-1}{3})x^{\frac{-1}{3}-1}+(4)x^{1-1}$

حال عبارت بالا را تمیز می نویسیم:

$f'(x)=10x+\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}+4$

3-41 مشتق عدد ثابت

از عبارت (2) نیز می توان نتیجه گرفت که مشتق عدد ثابت صفر است اما به شکلی دلنشین، می توان به شیب توابع ثابت در هر نقطه فکر کرد. با توجه به اینکه صعود یا نزولی در تابع ایجاد نمی شود؛ شیب آن در هر نقطه صفر خواهد بود. بنابراین برای تابع $f(x)=k$ که تابعی ثابت است؛ تابع مشتق صفر خواهد بود.

4-41 جمع بندی فصل

با مشتق گیری از عبارات توان دار آشنا شدیم و پی بردیم که مشتق جمله توان دار (توان غیرصفر)، همیشه جمله ای توان دار با یک درجه پایین تر است.

*1- مکان متحرکی با تابع $f(t)=2t^{2}-6t+4$ تغییر می کند که در آن $t$ زمان است. تابع سرعت، مشتق تابع f(t) بر حسب زمان $t$ تعریف می شود. سرعت در $t=4$ را محاسبه نمایید.