در بحث مشتق گیری با مشتق روابط مثلثاتی آشنا شدیم. همانطور که دیدیم خود توابع مثلثاتی هستند که عملیات مشتق گیری بر آنها، توابع مثلثاتی تولید می کند. بنابراین انتظار داریم که تابع اولیه برای یک تابع مثلثاتی، بازهم تابعی مثلثاتی باشد. بدون فوت وقت به سراغ معرفی انتگرال توابع مثلثاتی می رویم که بسیار مهم اند.

1-49 سینوس و کسینوس

می دانیم که مشتق تابع منفی کسینوس، سینوس است. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \{-\cos(x)\}=\sin(x)$ بنابراین ما تابع اولیه سینوس را پیدا کردیم:

(1)

$\large \displaystyle{\int \sin(x) \:\mathrm{d}x}=-\cos(x)+C$

رابطه بالا برای ضریبی ثابت همانند $a$ داخل آرگومان سینوس نیز شکل زیر را به خود می گیرد که اثبات سرراست آن را برای تمرین 49-1 به شما می سپارم:

(2)

$\large \displaystyle{\int \sin(ax) \:\mathrm{d}x}=-\frac{1}{a}\cos(ax)+C$

روش کارمان در بالا این را به ما خاطرنشان می کند که اگر دنبال تابع اولیه برای کسینوس می گردیم؛ باید به چیزی شبیه به سینوس فکر کنیم. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \{\sin(x)\}=\cos(x)$ بدین ترتیب، بدون کم و کسر و منفی، سینوس تابع اولیه کسینوس است:

(3)

$\large \displaystyle{\int \cos(x) \:\mathrm{d}x}=\sin(x)+C$

مشابه رابطه (2) برای $\cos(ax)$ نیز موجود است، ضمن اینکه می دانیم اگر ضریبی در کل سینوس یا کسینوس ضرب شد، به سادگی از انتگرال خارج و در حاصل ضرب می شود:

(4)

$\large \displaystyle{\int \cos(ax) \:\mathrm{d}x}=\frac{1}{a}\sin(ax)+C$

*مثال 49-1)

حاصل انتگرال روبه رو را بیابید.

$\large \displaystyle{\int 6\sin(2x)\cos(2x)\:\mathrm{d}x}$

پاسخ

قبل از هرچیز بدون اینکه از ضرب یک سینوس در یک کسینوس سردرگم شویم؛ اتحاد زیر را درنظر می گیریم:

$\large \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$

بنابراین انتگرال را می توان به صورت یک عبارت سینوسی نوشت و بوسیله رابطه (2) آن را محاسبه نمود:

$\large \displaystyle{3\int \sin(4x)\:\mathrm{d}x}=-\frac{3}{4}\cos(4x)+C$

2-49 توان های سینوس و کسینوس

راهبردی مهم در انتگرال گیری از توان های بالاتر سینوس و کسینوس، استفاده از اتحادهای مثلثاتی برای کم کردن توان ها و در نهایت رساندن آنها به توان یک است که عباراتی انتگرال پذیر برای ما باشد. برای مثال به اتحادهای زیر برای شکاندن درجه دو به درجه یک توجه کنید:

(5)

$\large \sin^{2}(x)=\displaystyle{\frac{1-\cos(2x)}{2}}$

(6)

$\large \cos^{2}(x)=\displaystyle{\frac{1+\cos(2x)}{2}}$

بنابراین می بینیم که توان های دو به توان های یک تبدیل می شود که برای ما کاملا انتگرال پذیر است. مشابه این روابط برای توان سه نیز برقرار است.

*مثال 49-2)

حاصل انتگرال زیر را بدست آورید.

$\large \displaystyle{\int 2\sin^{2}(x)\:\mathrm{d}x}$

پاسخ

بهره بردن از رابطه (5) در اینجا نقشی کلیدی دارد و بقیه کار ساده است:

$\large \displaystyle{\int 2\sin^{2}(x)\:\mathrm{d}x}=\displaystyle{\int 1-\cos(2x)\:\mathrm{d}x}=x-\frac{1}{2}\sin(2x)+C$

3-49 جمع بندی فصل

بحث در مورد انتگرال توابع مثلثاتی را به سینوس و کسینوس و همچنین توان های دو و سه محدود کردیم. در فصول آینده با روش هایی برای انتگرال گیری آشنا می شویم که قوای ما را در مواجهه با دیگر توابع مثلثاتی ارتقاء می بخشند.

*1- با مشتق گیری از سمت راست تساوی، صحت روابط (2) و (4) را تایید کنید.

**2- از رابطه زیر انتگرال بگیرید.

$\large \displaystyle{\int \frac{2}{1+\tan^{2}(x)} \:\mathrm{d}x}$

(راهنمایی: حضور تانژانت تنها کمی فریبنده است!)