همانطور که در مشتق گیری با چندجمله ای های توانی کار را آغاز کردیم؛ ابتدا بهتر است با نحوه انتگرال گیری از این نوع عبارات آشنا شویم.

1-48 انتگرال عدد ثابت

کلید درک و دریافت انواع انتگرال، توجه به مفهوم پادمشتق است. اینکه مشتق چه چیزی یک عدد ثابت همانند $k$ می شود، می دانیم که مشتق چندجمله ای درجه یک، عدد ثابت می سازد:

(1)

$\large \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(kx+C)=k$

که در عبارت بالا $k$ و $C$ اعدادی ثابت هستند. بنابراین عکس این عمل همان انتگرال نامعین، برای عدد ثابتی مثل $k$ است، چون تابع اولیه عدد ثابت را می دانیم:

(2)

$\large \int k \mathrm{d}x=kx+C$

با عبارت بالا می دانیم حاصل انتگرال $7$، عبارت $7x+C$ خواهد بود و انتگرال $0$ تنها عددی ثابت مانند $C$ است.

2-48 انتگرال چندجمله ای تواندار

می دانیم که با مشتق گیری از یک عبارت درجه دو، تنها می توان عبارت درجه یک ساخت. بنابراین چندجمله ای درجه دو، برای چند جمله ای درجه یک، تابع اولیه است:

(3)

$\large \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\frac{ax^2}{2})=ax$

عبارت بالا به هر درجه ای که حقیقی باشد (خواه عدد کسری یا عدد گنگ به جز $-1$) قابل تعمیم است:

(4)

$\large \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\frac{x^{n+1}}{n+1})=x^{n}$

حال با دانستن تابع اولیه برای چند جمله ای درجه $n$، حاصل انتگرال آن را می دانیم:

(5)

$\large \int x^{n} \mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

به شرط $n \neq -1 $ عبارت بالا برقرار است.

*مثال 48-1)

حاصل عبارت زیر را بدست آورید.

$\large \int^{5}_{1}(3x^2-4x^{\frac{-1}{2}}+6) \mathrm{d}x$

پاسخ

با استفاده از رابطه 6-47، سه جمله را به انتگرال های مجزا تبدیل و به وسیله رابطه (5) انتگرال می گیریم. همچنین طبق رابطه 7-47، ضرایب ثابت را می توان از انتگرال خارج کرد :

$\large 3\int^{5}_{1}(x^2)\mathrm{d}x-4\int^{5}_{1}(x^{\frac{-1}{2}})\mathrm{d}x+6\int^{5}_{1}(1) \mathrm{d}x=3(\frac{x^3}{3}|^{5}_{1})-4(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}|^{5}_{1})+6(\frac{x^1}{1}|^{5}_{1})$

$\large =3(\frac{125}{3}-\frac{1}{3})-4(2\sqrt{5}-2)+6(5-1)=156-8\sqrt{5}$

3-48 جمع بندی فصل

در این فصل با انتگرال چندجمله ای های تواندار آشنا شدیم. در صورت متقارن بودن بازه های انتگرال گیری، کارهایی می توان انجام داد که انتگرال گیری را از چند جمله ای با توان های طبیعی را سریع تر از قبل می کند که در تمرینات فصل به آن می پردازیم.

*1- اگر $n$ زوج و طبیعی باشد؛ ثابت کنید:

(6)

$\large \int^{a}_{-a} x^{n}\; \mathrm{d}x = 2\int^{a}_{0} x^{n}\; \mathrm{d}x$

*2- اگر $n$ فرد و طبیعی باشد؛ ثابت کنید:

(7)

$\large \int^{a}_{-a} x^{n}\; \mathrm{d}x = 0$

*3- حاصل انتگرال نامعین زیر را بدست آورید.

$\large \int 4x^5-7x^{\sqrt{2}} \; \mathrm{d}x$