یکی از روش های کارآمد برای حل طیف گسترده ای از انتگرال های پیچیده، روش تغییر متغیر و تبدیل انتگرال به انتگرال های ساده ای است که حل آنها را در خاطر داریم. در این فصل، چند مثال کاربردی که راهبرد کلی را در چنین مسائلی به ما نشان می دهد را حل خواهم کرد.

1-52 تغییر متغیر

یکی از راهبرد های مهم در تغییر متغیر، این است که مسئله حاصل انتگرال دو تابع ضربی یا تقسیمی را بخواهد. در چنین شرایطی، ارتباطی از جنس مشتق میان دو تابع کلید حل مسئله است. اینجاست که تغییر متغیر یکی از گزینه های روی میز خواهد بود. البته در انتگرال گیری معین باید این دقت را به کار گرفت که تغییر متغیر شامل ابتدا و انتهای بازه انتگرال گیری نیز می شود. در نتیجه باید ابتدا و انتها را مناسب متغیر جدید تغییر داد.

*مثال 52-1)

انتگرال روبه‌رو را محاسبه نمایید.

$\large \displaystyle{\int \tan{(x)} \mathrm{d}x}$

پاسخ

می دانیم که $\tan(x)=\displaystyle{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$، بنابراین شرایط تغییر متغیر را بررسی می کنیم. بین دو تابع سینوس و کسینوس ارتباط مشتق برقرار است و انتگرال $\frac{1}{u}$ را نیز می دانیم. بنابراین تغییر متغیر زیر را درنظر می گیریم:

$\large u=\cos(x) \;,\; \mathrm{d}u=-\sin(x) \mathrm{d}x$

بنابراین عبارت انتگرال، صورت زیر را به خود می گیرد که حاصل آن را می دانیم:

$\large \displaystyle{-\int \frac{1}{u} \mathrm{d}u}=-\ln(|u|)+C$

حال برای جواب نهایی باید $u$ را جایگذاری کنیم:

$\large \displaystyle{\int \tan{(x)} \mathrm{d}x}=-\ln(|\cos(x)|)+C$

ممکن است آرگومان یکی از دوتابع، تغییر متغیر دلخواه باشد.

*مثال 52-2)

انتگرال روبه‌رو را حساب کنید.

$\large \displaystyle{\int_{2}^{4} xe^{x^2} \mathrm{d}x}$

پاسخ

تغییر متغیر زیر را درنظر می گیریم:

$\large u=x^{2} \;,\; \mathrm{d}u=2x \mathrm{d}x$

انتگرال و کران های آن را برحسب u بازنویسی می کنیم (البته می توان به جای محاسبه کران های انتگرال با متغیر جدید، ابتدا انتگرال را به صورت نامعین حل کرد و سپس متغیر اولیه را در جواب نهایی جایگذاری کرد؛ من به هردو روش حل می کنم.):

$\large \displaystyle{\int_{4}^{16} \frac{1}{2}e^{u} \mathrm{d}u}=\frac{1}{2}e^{u}\displaystyle{\huge |}_{4}^{16}=\frac{1}{2}(e^{16}-e^4)$

مشابه روش بالا جایگذاری $u=x^2$ در جواب نهایی است:

$\large \frac{1}{2}e^{x^2}\displaystyle{\huge |}_{2}^{4}=\frac{1}{2}(e^{16}-e^4)$

تغییر متغیرها می تواند پیچیده تر نیز باشد.

**مثال 52-3)

حاصل انتگرال روبه‌رو را بدست آورید.

$\large \displaystyle{\int \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x}$

پاسخ

در شرایطی که رادیکال داشته باشیم؛ تغییر متغیر مثلثاتی می تواند روشی کارآمد برای حل باشد:

$\large x=\sin(u) \;,\; \mathrm{d}x=\cos(u) \mathrm{d}u$

با در نظر گرفتن $\cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x)$، انتگرال به صورت زیر بازنویسی می شود:

$\large \displaystyle{\int \cos^{2}(u) \mathrm{d}u}$

که عبارت بالا را می توانیم با اتحاد های مثلثاتی محاسبه کنیم:

$\large \displaystyle{ \int \frac{1}{2}\cos(2u)+\frac{1}{2} \mathrm{d}u}=\frac{1}{4}\sin(2u)+\frac{1}{2}u+C$

حال با اتحاد مثلثاتی دوبرابر زاویه و تغییر متغیر $u=\arcsin(x)$ جواب نهایی برحسب $x$ را محاسبه می کنیم:

$\large \frac{1}{2}\sin(u)\cos(u)+\frac{1}{2}u+C=\frac{1}{2}\sin(u)\sqrt{1-\sin^{2}(u)}+\frac{1}{2}u+C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}\arcsin(x)+C$

2-52 جمع بندی فصل

در این فصل مثال های مهمی از تغییر متغیر در انتگرال را آموختیم. البته این بحث واقعا گسترده است و مثال های متعددی برای حل سوالات به این روش وجود دارد. تسلط بر این انتگرال‌گیری نیازمند تمرین و حل انتگرال های گوناگون است.

– انتگرال های زیر را به روش تغییر متغیر محاسبه نمایید.

*1-

$\large \displaystyle{\int \cot{(x)} \mathrm{d}x}$

*2-

$\large \displaystyle{\int e^{\cos(x)}\sin(x) \mathrm{d}x}$

**3- با تغییر متغیر مناسب، عبارت زیر را ثابت کنید:

(1)

$\large \displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x}=\arcsin(x)+C$