یکی از موضوعات جالب و کاربردی ریاضی، ماتریس (Matrix) است که در جایجای فیزیک، ریاضیات و علوم کامپیوتر ظاهر می شود. بخصوص که ماتریس نقش اساسی در حل دستگاه های معادلات دارد. در این فصل، به صورت مقدماتی ماتریس را معرفی می کنم.

1-53 تعریف

هر ماتریس، یک آرایش مستطیلی از اعداد است که در سطرها و ستون های مختلف جای می گیرند. ماتریس $A$ را در نظر بگیرید که دو سطر و سه ستون دارد:

$\large A=\displaystyle{\begin{bmatrix}1 &2&7 \\ 6&3&4 \end{bmatrix}_{2\times 3}}$

هرکدام از اعداد داخل ماتریس را درایه می نامیم. هر درایه $a_{ij}$ (متداول است که درایه را با حرف کوچک نام ماتریس نمایش می دهیم) با سطر$i$ و ستون$j$ مخصوص به خود نمایش داده می شود. برای مثال درایه سطر دوم و ستون اول $a_{21}=6$ و درایه سطر اول و ستون سوم $a_{13}=7$ است.

به طور کلی، یک ماتریس با $n$ سطر و $m$ ستون را می توان به صورت زیر نمایش داد:

(1)

$\large A=\displaystyle{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1m} \\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nm}\end{bmatrix}_{n\times m}}$

2-53 تساوی ماتریسی

دو ماتریس $A$ و $B$ را درنظر بگیرید؛ برای تساوی میان دو ماتریس، ابتدا باید تعداد سطرهای ماتریس $A$ با تعداد سطرهای ماتریس $B$ برابر و همچنین تعداد ستون های $A$ با تعداد ستون های $B$ یکسان باشد. پس تامین شرط جمله قبل، درایه ها نظیر به نظیر با هم برابر خواهند بود. مثال 53-1، منظور را روشن می سازد.

*مثال 53-1)

با توجه به تساوی دو ماتریس زیر، مقادیر مجهول را محاسبه کنید.

$\large \displaystyle{\begin{bmatrix}11 &5& \\ 7&-4 \end{bmatrix}}=\displaystyle{\begin{bmatrix}3a+2 &5& \\ 7&b \end{bmatrix}}$

پاسخ

چون درایه ها نظیر به نظیر باهم برابرند:

$\large 3a+2=11 \rightarrow a=3,b=-4$

3-53 جمع و تفریق ماتریسی

مشابه تساوی، ماتریس ها با تعداد سطر و ستون های یکسان را می توان با یکدیگر جمع یا تفریق کرد. برای دو ماتریس با n سطر و m ستون داریم:

(2)

$\large \displaystyle{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1m} \\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nm}\end{bmatrix}}+\displaystyle{\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1m} \\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ b_{n1}&b_{n2}&…&b_{nm}\end{bmatrix}}=\displaystyle{\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&…&a_{1m}+b_{1m} \\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&…&a_{2m}+b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}+b_{n1}&a_{n2}+b_{n2}&…&a_{nm}+b_{nm}\end{bmatrix}}$

تفریق نیز شرایطی یکسان دارد:

(3)

$\large \displaystyle{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1m} \\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nm}\end{bmatrix}}-\displaystyle{\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1m} \\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ b_{n1}&b_{n2}&…&b_{nm}\end{bmatrix}}=\displaystyle{\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&…&a_{1m}-b_{1m} \\ a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&…&a_{2m}-b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}-b_{n1}&a_{n2}-b_{n2}&…&a_{nm}-b_{nm}\end{bmatrix}}$

*مثال 53-2)

ماتریس حاصل را محاسبه کنید:

$\large \displaystyle{\begin{bmatrix}1&6\\-1&\frac{3}{2}\end{bmatrix}}-\displaystyle{\begin{bmatrix}0&7\\\frac{-3}{2}&2\end{bmatrix}}$

پاسخ

$\large \displaystyle{\begin{bmatrix}1&6\\-1&\frac{3}{2}\end{bmatrix}}-\displaystyle{\begin{bmatrix}0&7\\\frac{-3}{2}&2\end{bmatrix}}=\displaystyle{\begin{bmatrix}1&-1\\\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}\end{bmatrix}}$

4-53 ضرب عدد در ماتریس

ضرب یک عدد در ماتریس، به این صورت است که تمامی درایه ها در آن عدد ضرب می شوند؛ ماتریس دلخواه $A$ را درنظر بگیرید که در عدد دلخواه $k$ ضرب شده است:

(4)

$\large rA=r\displaystyle{\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1m} \\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nm}\end{bmatrix}}=\displaystyle{\begin{bmatrix} ra_{11}&ra_{12}&…&ra_{1m} \\ ra_{21}&ra_{22}&…&ra_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ ra_{n1}&ra_{n2}&…&ra_{nm}\end{bmatrix}}$

5-53 جمع بندی فصل

در این فصل با ماتریس و عملیات های ساده آن آشنا شدیم. دو ماتریس نیز با یکدیگر تحت شرایطی ضرب می شوند که در فصل های بعد به آن می پردازم.

*1- دو ماتریس $A$ و $B$ را در نظر بگیرید و عملیات های زیر را انجام دهید.

$\large A=\displaystyle{\begin{bmatrix}1 & -1\\ -3 & 6\end{bmatrix}}\;,\;B=\displaystyle{\begin{bmatrix}-6 & 0\\ 2 & \frac{5}{4}\end{bmatrix}}$

$A+3B$

$B-2A$