یکی از موضوعات جالب و کاربردی ریاضی، ماتریس (Matrix) است که در جایجای فیزیک، ریاضیات و علوم کامپیوتر ظاهر می شود. بخصوص که ماتریس نقش اساسی در حل دستگاه های معادلات دارد. در این فصل، به صورت مقدماتی ماتریس را معرفی می کنم.

1-53 تعریف

هر ماتریس، یک آرایش مستطیلی از اعداد است که در سطرها و ستون های مختلف جای می گیرند. ماتریس $A$ را در نظر بگیرید که دو سطر و سه ستون دارد:

$A={\displaystyle {\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ 6& 3& 4\end{array}\right]}_{2\times 3}}$

هرکدام از اعداد داخل ماتریس را درایه می نامیم. هر درایه $a_{ij}$ (متداول است که درایه را با حرف کوچک نام ماتریس نمایش می دهیم) با سطر$i$ و ستون$j$ مخصوص به خود نمایش داده می شود. برای مثال درایه سطر دوم و ستون اول $a_{21}=6$ و درایه سطر اول و ستون سوم $a_{13}=7$ است.

به طور کلی، یک ماتریس با $n$ سطر و $m$ ستون را می توان به صورت زیر نمایش داد:

(1)

$A={\displaystyle {\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nm}\end{array}\right]}_{n\times m}}$

2-53 تساوی ماتریسی

دو ماتریس $A$ و $B$ را درنظر بگیرید؛ برای تساوی میان دو ماتریس، ابتدا باید تعداد سطرهای ماتریس $A$ با تعداد سطرهای ماتریس $B$ برابر و همچنین تعداد ستون های $A$ با تعداد ستون های $B$ یکسان باشد. پس تامین شرط جمله قبل، درایه ها نظیر به نظیر با هم برابر خواهند بود. مثال 53-1، منظور را روشن می سازد.

*مثال 53-1)

با توجه به تساوی دو ماتریس زیر، مقادیر مجهول را محاسبه کنید.

${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}11& 5& \\ 7& -4\end{array}\right]={\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}3a+2& 5& \\ 7& b\end{array}\right]}}$

پاسخ

چون درایه ها نظیر به نظیر باهم برابرند:

$3a+2=11\to a=3,b=-4$

3-53 جمع و تفریق ماتریسی

مشابه تساوی، ماتریس ها با تعداد سطر و ستون های یکسان را می توان با یکدیگر جمع یا تفریق کرد. برای دو ماتریس با n سطر و m ستون داریم:

(2)

${\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nm}\end{array}\right]+{\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1m}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nm}\end{array}\right]={\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \dots & a_{1m}+b_{1m}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \dots & a_{2m}+b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}+b_{n1}& a_{n2}+b_{n2}& \dots & a_{nm}+b_{nm}\end{array}\right]}}}$

تفریق نیز شرایطی یکسان دارد:

(3)

${\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nm}\end{array}\right]-{\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1m}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nm}\end{array}\right]={\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}& \dots & a_{1m}-b_{1m}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}& \dots & a_{2m}-b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}-b_{n1}& a_{n2}-b_{n2}& \dots & a_{nm}-b_{nm}\end{array}\right]}}}$

*مثال 53-2)

ماتریس حاصل را محاسبه کنید:

${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ -1& \frac{3}{2}\end{array}\right]-{\displaystyle \left[\begin{array}{cc}0& 7\\ \frac{-3}{2}& 2\end{array}\right]}}$

پاسخ

${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1& 6\\ -1& \frac{3}{2}\end{array}\right]-{\displaystyle \left[\begin{array}{cc}0& 7\\ \frac{-3}{2}& 2\end{array}\right]={\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1& -1\\ \frac{1}{2}& \frac{-1}{2}\end{array}\right]}}}$

4-53 ضرب عدد در ماتریس

ضرب یک عدد در ماتریس، به این صورت است که تمامی درایه ها در آن عدد ضرب می شوند؛ ماتریس دلخواه $A$ را درنظر بگیرید که در عدد دلخواه $k$ ضرب شده است:

(4)

$rA=r{\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nm}\end{array}\right]={\displaystyle \left[\begin{array}{cccc}r{a}_{11}& r{a}_{12}& \dots & r{a}_{1m}\\ r{a}_{21}& r{a}_{22}& \dots & r{a}_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r{a}_{n1}& r{a}_{n2}& \dots & r{a}_{nm}\end{array}\right]}}$

5-53 جمع بندی فصل

در این فصل با ماتریس و عملیات های ساده آن آشنا شدیم. دو ماتریس نیز با یکدیگر تحت شرایطی ضرب می شوند که در فصل های بعد به آن می پردازم.

*1- دو ماتریس $A$ و $B$ را در نظر بگیرید و عملیات های زیر را انجام دهید.

$A={\displaystyle \left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 6\end{array}\right],B={\displaystyle \left[\begin{array}{cc}-6& 0\\ 2& \frac{5}{4}\end{array}\right]}}$

$A+3B$

$B-2A$