ضرب ماتریسی موضوع این فصل است. پس از آشنایی با مقدمات ماتریس، فراگیری الگوریتم ضرب دو ماتریس حائز اهمیت است. روش ضرب ماتریس ها سرراست اما نیازمند دقت در بکارگیری است.

1-54 ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی

به ماتریسی که تنها یک سطر داشته باشد(یا تمامی درایه های آن در یک سطر قرار بگیرد)؛ ماتریس سطری می گوییم. ماتریس $A$ یک ماتریس سطری $1\times3$ است:

$\large A=\displaystyle{\begin{bmatrix}1 &2 &3 \end{bmatrix}_{1\times3}}$

با روندی مشابه، ماتریسی که تنها یک ستون داشته باشد (یا تمامی درایه های آن در یک ستون قرار بگیرد)؛ ماتریس ستونی می گوییم. ماتریس $B$ یک ماتریس ستونی $3\times1$ است:

$\large B=\displaystyle{\begin{bmatrix}-3 \\5 \\0 \end{bmatrix}_{3\times1}}$

حال می خواهم که روش ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی را توضیح دهم(دقت کنید که در ماتریس ها، خاصیت جابجایی وجود ندارد $AB\neq BA$ بنابراین ضرب ماتریس ستونی در ماتریس سطری به طریقی متفاوت انجام می شود.). روش کار این است که عضو اول ماتریس سطری (از چپ) در عضو اول ماتریس ستونی (از بالا) به علاوه همین کار برای اعضای دوم و سوم و… و جمع زدن حاصل ضرب ها، نتیجه ضرب را می دهد. اگر کمی گیج کننده بود ضرب همان دو ماتریس $A$ و $B$ و رنگ ها به شما کمک خواهد کرد:

$\large AB=\displaystyle{\begin{bmatrix}{\color{Blue}1 } & {\color{Red} 2} & {\color{Green} 3} \end{bmatrix}}\displaystyle{\begin{bmatrix}{\color{Blue}-3 } \\ {\color{Red} 5} \\ {\color{Green} 0} \end{bmatrix}}
=({\color{Blue}1 })({\color{Blue}-3 })+({\color{Red} 2})({\color{Red} 5})+({\color{Green} 3})({\color{Green} 0})=-3+10+0=7 $

دقت کنید که حاصل این ضرب یک عدد شد. هرعدد را می توان یک ماتریس $1\times1$ نیز درنظر گرفت.

2-54 ضرب ماتریسی در حالت کلی

مراد از مطرح کردن ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی، بررسی ضرب دو ماتریس در حالت کلی است. برای اینکه ضرب قابل انجام باشد تنها یک شرط باید بررسی شود؛ اینکه تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. دو ماتریس $A_{i\times m}$ و $B_{n \times j}$ را درنظر بگیرید که به صورت $AB$ ضرب می شوند. تنها در صورتی ضرب قابل انجام است که $n=m$. ماتریس حاصل ضرب را $C$ می نامیم ($C=AB$)، این ماتریس حتما $i$ سطر و $j$ ستون خواهد داشت:

(1)

$\large A_{i\times m}B_{m \times j}=C_{i \times j}$

برای بدست آوردن درایه های ماتریس $C$ از راهبرد 54-1 استفاده می کنیم. می توان هر سطر $A$ را یک ماتریس سطری و هر ستون $B$ را یک ماتریس ستونی دید. درایه $c_{ij}$ یا درایه سطر $i$ ام و ستون $j$ ام ماتریس $C$، از ضرب سطر $i$ ام ماتریس $A$ در ستون $j$ ام ماتریس $B$ بدست می آید:

(2)

$\large c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{im}b_{mj}$

مثال الگوریتم را روشن می سازد:

*مثال 54-1)

حاصل ضرب دو ماتریس $A_{2\times2}$ و $B_{2\times3}$ بدست آورید:

$\large A_{2\times 2}=\displaystyle{\begin{bmatrix}1 &0 \\ 4 &-2 \end{bmatrix}}\; , \; B_{2\times 3}=\displaystyle{\begin{bmatrix}0 &5&3 \\ -1&4 &5 \end{bmatrix}}$

پاسخ

باتوجه به برابری تعداد ستون های $A$ با تعداد سطرهای $B$ دو ماتریس ضرب پذیرند ($m=2$). همچنین می دانیم $i=2$ و $j=3$ ، بنابراین مطابق رابطه (1)، ماتریس حاصل $2\times 3$ خواهد بود. بنابراین کافی است که درایه های ماتریس را مطابق رابطه (2) محاسبه کنیم. بهتر است ابتدا جملات هر سطر $C$ را حساب کنیم و سپس به سطر بعدی برویم:

$\large c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=(1)(0)+(0)(-1)=0$

$\large c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=(1)(5)+(0)(4)=5$

$\large c_{13}=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}=(1)(3)+(0)(5)=3$

حالا سطر دوم ماتریس $C$:

$\large c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=(4)(0)+(-2)(-1)=2$

$\large c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=(4)(5)+(-2)(4)=12$

$\large c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}=(4)(3)+(-2)(5)=2$

بنابراین ماتریس حاصل به صورت روبرو است:

$\large C_{2\times 3}=\displaystyle{\begin{bmatrix}0 &5&3 \\ 2&12 &2 \end{bmatrix}}$

3-54 جمع بندی فصل

با نحوه ضرب کردن ماتریس ها آشنا شدیم. حالا می توان از روش 54-2 ضرب یک ماتریس ستونی در سطری را نیز محاسبه کرد که حاصل ماتریسی $3\times 3$ است. خوب است که در این زمینه تمرینات متعددی حل کنید تا به صورت روان و با کمترین خطا روش را فرابگیرید.

*1- حاصل $BA$ را برای ماتریس های بخش 54-1، بدست آورید.