دترمینان (determinant) مفهومی کاربردی در محاسبات ماتریسی است. پس از آشنایی با ماتریس و عملیات های آن، خوب است که با دترمینان آشنا شویم. همانند اعداد، برخی ماتریس ها نیز دارای ماتریس معکوس‌اند که این ماتریس ها، ارتباط گسترده ای با دترمینان دارند.

1-55 ماتریس مربعی

در نگاه اول، خوب است که نوعی از ماتریس ها را معرفی کنیم که دترمینان تنها برای آنها تعریف می شود. ماتریس های مربعی، ماتریس هایی هستند که تعداد سطرها و ستون های برابر دارند($n\times n$). به عنوان مثالی از این نوع ماتریس، ماتریس یکه یا همانی، ماتریسی مربعی است که روی قطر اصلی (قطر بالاچپ-پایین‌راست) آن فقط یک می نشیند و بقیه درایه ها صفرند. مرتبه آن $n$ (تعداد سطرها یا ستون ها) به صورت اندیس نشان داده می شود:

(1)

$\displaystyle{\large I_{1}=\begin{bmatrix}1\end{bmatrix} \; , \; I_{2}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\; , \;I_{n}=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0 \\0&1&\cdots&0\\\vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1 \end{bmatrix}}$

این ماتریس، همانند عدد $1$ در ضرب اعداد عمل می کند. هرماتریس دلخواه $A$ ضرب در ماتریس یکه، خودش می شود:

(2)

$\large AI=IA=A$

2-55 دترمینان

دترمینان، تابعی است که به هر ماتریس مربعی یک عدد نسبت می دهد که محاسبه آن با توجه مرتبه ماتریس مربعی $n$ متفاوت است. من در اینجا دترمینان تا مرتبه $n=3$ را ذکر می کنم.

1-2-55 ماتریس مرتبه یک

به سادگی هرچه تمام تر! تنها درایه ماتریس $1\times 1$، دترمینان ماتریس خواهد بود:

(3)

$\large A=\begin{bmatrix}a\end{bmatrix} \; \rightarrow \; \det{(A)}=a$

2-2-55 ماتریس مرتبه دو

برای ماتریس های $2 \times 2$ کافی است حاصل ضرب درایه های قطر اصلی را منهای حاصل ضرب درایه های قطر فرعی کنیم:

(4)

$\large A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d \end{bmatrix} \; \rightarrow \; \det{(A)}=ad-bc$

*مثال 55-1)

دترمینان زیر را محاسبه کنید. (اگر به جای براکت، از خط راست استفاده شد؛ معمولا به معنای دترمینان است و نه ماتریس)

$\large \displaystyle{\begin{vmatrix}1 & 6\\ -3 & 5\end{vmatrix}}$

پاسخ

استفاده از رابطه (4):

$\large \displaystyle{\begin{vmatrix}1 & 6\\ -3 & 5\end{vmatrix}}=(1)(5)-(6)(-3)=23$

---

3-2-55 ماتریس مرتبه سه

فوت و فن ماتریس های $3 \times 3$ اندکی پیچیده تر است. برای هر ماتریس $3\times 3$، باید سه دترمینان دو در دو محاسبه کنیم. ابتدا خوب است که رابطه را ببینید و سپس توضیح می دهم:

(5)

$\large det(A)=\displaystyle{\begin{vmatrix}a &b &c \\ d&e &f \\ g&h & i\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}e &f \\ h & i\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}d &f \\ g & i\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}d &e \\ g & h\end{vmatrix}}$

$\large = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$

برای محاسبه جمله اول عبارت بالا، کافی است سطر و ستون هایی که در آن $a$ وجود دارد را نادیده بگیرید و دترمینان ماتریس $2\times 2$ باقی مانده را محاسبه و حاصل را ضرب در $a$ کنید. همین کار را برای $b$ و $c$ نیز انجام دهید. تنها باید حواس جمع بود که یک منفی هم در جمله دوم ضرب شود. اینگونه می توان سه جمله دترمینان را حساب کرد.

*مثال 55-2)

دترمینان زیر را بدست آورید.

$\displaystyle{\begin{vmatrix}1 &4 &6 \\ -2 &1 &2 \\ 0& 6 &3 \end{vmatrix}}$

پاسخ

از رابطه (5) یا روشی که آوردم، دترمینان قابل محاسبه است:

$\displaystyle{\begin{vmatrix}1 &4 &6 \\ -2 &1 &2 \\ 0& 6 &3 \end{vmatrix}}=\displaystyle{1\begin{vmatrix}1 &2\\ 6 & 3\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-2 &2 \\ 0 & 3\end{vmatrix}+6\begin{vmatrix}-2 &1 \\ 0 & 6\end{vmatrix}}=-9+24-72=-57$

---

دترمینان مرتبه های بالاتر از $3$ نیز به روش سطر و ستون حذفی مرتبه $3$ قابل محاسبه اند(فارغ از اینکه می تواند بسیار زمانبر باشد). جملات باید یکی در میان مثبت و منفی باشند. می توان روش سطر و ستون حذفی را حول سطرها و ستون هایی به جز سطر اول نیز انجام داد؛ فقط باید به علامت جملات توجه کرد(معمولا بسط حول سطرها یا ستون هایی که صفر بیشتری دارند محاسبه دترمینان را ساده تر می کند.) علامت جملات به صورت زیر است:

(6)

$\large \displaystyle{\begin{bmatrix}+&- &+ \\ – &+&- \\ +& – &+ \end{bmatrix}}$

3-55 خواص دترمینان

استفاده از برخی خواص دترمینان که در برخی مسائل، سرعت محاسبه دترمینان را افزایش می دهد. آنها را در اینجا ذکر می کنم:

• اگر در ماتریس $A$، سطری مضرب (صحیح یا ناصحیج تفاوتی ندارد) سطر دیگر یا ستونی مضرب ستون دیگر باشد؛ دترمینان $A$ صفر است.
• اگر ماتریس $B$ حاصل جابجایی دو ستون یا دو سطر ماتریس $A$ باشد؛ آنگاه $\det{(B)}=-\det{(A)}$
• شرط زیر در دترمینان ضرب ماتریس ها برقرار است:

(7)

$\large \det{(AB)}=\det{(A)}\det{(B)}$

4-55 جمع بندی فصل

با دترمینان ماتریس های مربعی آشنا شدیم. دترمینان در حل دستگاه های معادلات، مسائل مقدار ویژه، ضرب خارجی بردارها و… به کرات ظاهر می شود. بنابراین تسلط بر محاسبه آن بسیار مفید است.

 

تمرینات فصل

*1- دترمینان ماتریس $I_{n}$ چقدر است؟ به طور کلی ماتریسی که تنها درایه های قطر اصلی آن غیر صفرند؛ چگونه بدست می آید؟

*2- دترمینان ماتریس زیر را محاسبه کنید.(راهنمایی: برای حل سریع، حول سطر سوم روش را به کار بگیرید.)

$\large Q=\displaystyle{\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 0& 7&0 \end{bmatrix}}$

*3- برای ماتریس مربعی دلخواه $A$ و عدد طبیعی $n$ ثابت کنید (به توان $n$ یعنی $n$ بار ماتریس در خودش ضرب شده!):

(8)

$\large \det{(A^n)}=[\det{(A)}]^{n}$

*4- بدون کوچکترین محاسبه، دترمینان زیر را بدست آورید:

$\large \displaystyle{\begin{vmatrix}1 &2 &2&-3 \\ -2 &-5 &-4&6 \\ 7& 1 &14&2 \\ 1&8&2&-4 \end{vmatrix}}$

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	54 ماتریس : ضرب ماتریسی	55 ماتریس : دترمینان	56 ماتریس : ماتریس وارون