ماتریس وارون (Inverse Matrix) مبحث این فصل است. همانند اعداد که در آن، معکوس (وارون) هرعدد ضربدر خود عدد، مساوی یک می شود $a\times a^{-1}=1$ ؛ ماتریس ها نیز وارونی از جنس خود دارند.

1-56 تعریف

ماتریس مربعی $A_{n\times n}$ را درنظر بگیرید؛ ماتریس وارون $A$، ماتریسی است که حاصل ضرب آن در $A$، برابر ماتریس یکه $I_n$ باشد. آن را با نماد $A^{-1}$ نمایش می دهیم:

(1)

$\large AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$

توجه کنید که ماتریس وارون(معکوس) تنها برای ماتریس های مربعی قابل تعریف است. همچنین تنها ماتریس هایی وارون پذیرند که دترمینان غیرصفر داشته باشند. از رابطه 55-7 می دانیم:

$\large \det{(A)}\det{(A^{-1})}=\det{(I_n)}$

باتوجه به اینکه $\det{(I_n)}=1$ است؛ دترمینان $A$ هرگز نمی تواند صفر باشد. رابطه دترمینان ماتریس $A$ و دترمینان ماتریس $A^{-1}$ نیز از بالا بدست می آید:

(2)

$\large \displaystyle{\det{(A^{-1})}=\frac{1}{\det{(A)}}}$

2-56 وارون ماتریس

در این بخش، به روش های محاسبه ماتریس معکوس، برای ماتریس ها با مرتبه های مختلف می پردازم.

1-2-56 ماتریس مرتبه یک

ماتریس مرتبه یک یا $1\times 1$ ، همانند عدد رفتار می کند. ماتریس معکوس آن به صورت زیر بدست می آید:

(3)

$\large A=\begin{bmatrix}a\end{bmatrix} \; \rightarrow \; A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{a}\end{bmatrix}$

2-2-56 ماتریس مرتبه دو

ابتدا فرم کلی وارون یک ماتریس $2\times 2$ را می نویسم؛ سپس آن را اثبات می کنم. به طور کلی جای درایه های قطر اصلی عوض می شود و درایه های قطر فرعی قرینه می شوند. سپس ماتریس حاصل را بر دترمینان تقسیم می کنیم:

(4)

$\large A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \; \rightarrow \; A^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{\det{(A)}}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

اثبات به شکل یک دستگاه معادلات خطی بسیار کاربردی است، دستگاه معادلات خطی زیر را درنظر بگیرید:

(5)

$\large \displaystyle{\left\{\begin{matrix}ax+by=x’\\ cx+dy=y’\end{matrix}\right.}$

اگر $X=\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}$ و $X’=\begin{bmatrix}x’\\ y’\end{bmatrix}$، می توان دستگاه را به شکل ماتریسی زیر نوشت:

(6)

$\large AX=X’$

از طرف چپ یک $A^{-1}$ در دو طرف تساوی ضرب می کنیم؛ طرف چپ تساوی با توجه به رابطه (1) $IX$ می شود که ضرب $I$ در هر ماتریسی خود آن ماتریس است؛ پس نتیجه می گیریم:

(7)

$\large X=A^{-1}X’$

رابطه بالا نشان می دهد، اگر بتوانیم دستگاه (5) را به شکل زیر تغییر دهیم؛ ضرایب $x’$ و $y’$ درایه های ماتریس $A^{-1}$ خواهد بود:

(8)

$\large \displaystyle{\left\{\begin{matrix}a’x’+b’y’=x\\ c’x’+d’y’=y\end{matrix}\right.}$

حال با این مقدمات، کافی است با استفاده از روش جایگزینی $x$ و سپس $y$ را برحسب دیگر متغیرها بدست آوریم. قدم به قدم پیش می رویم تا چیزی از قلم نیفتد. ابتدا از معادله اول دستگاه (5)، $x$ را بدست می آوریم:

(9)

$\large x=\frac{1}{a}(x’-by)$

حال از رابطه بالا در معادله دوم، $x$ را جایگذاری می کنیم و $y$ را بدست می آوریم:

(10)

$\large \frac{c}{a}(x’-by)+dy=y’ \rightarrow y=\displaystyle{-\frac{c}{ad-cb}x’+\frac{a}{ad-cb}y’}$

با کمی دقت می توان پی برد که ضرایب معادله دوم دستگاه (7) را بدست آوردیم؛ از جایگذاری $y$ در رابطه (9) دیگر رابطه دلخواه ما نیز بدست می آید.

(11)

$\large x=\frac{1}{a}(x’+\frac{cb}{ad-cb}x’-\frac{ab}{ad-cb}y’)\rightarrow x=\frac{d}{ad-cb}x’-\frac{b}{ad-cb}y’$

حال با مقایسه دو رابطه (10) و (11) با دستگاه (7)، درایه های ماتریس معکوس محاسبه می شوند. همچنین می دانیم که $\det{(A)}=ad-cb$. بدین ترتیب (3) اثبات شد.

3-2-56 ماتریس مرتبه سه

برای $n=3$ نیز از روشی که با آن (3) را اثبات کردم، برای تشکیل ماتریس وارون استفاده می کنم. با توجه به تعداد زیاد درایه ها در ماتریس $3\times 3$، رابطه کلی چندان کارآمد نیست و بهتر است از روش دستگاه معادلات بهره ببریم. در قالب یک مثال این را توضیح خواهم داد.

*مثال 56-1)

ماتریس $A^{-1}$ را با توجه به $A$ بدست آورید.

$\large A=\displaystyle{\begin{bmatrix}3&2&1\\2&3&1\\1&1&4\end{bmatrix}}$

پاسخ

ابتدا دستگاه معادلات را تشکیل می دهیم:

$\large \displaystyle{\left\{\begin{matrix}3x+2y+z=a\\2x+3y+z=b\\x+y+4z=c\end{matrix}\right.}$

از معادله سوم، $x$ را بدست می آوریم و در معادله اول و دوم جایگذاری و دستگاه را با دو معادله بازنویسی می کنیم:

(12)

$\large x=c-y-4z \; \rightarrow \; \displaystyle{\left\{\begin{matrix}3c-y-11z=a\\2c+y-7z=b\end{matrix}\right.}$

حال از معادله دوم $y$ را بدست می آوریم و در معادله اول جایگذاری می کنیم تا $z$ برحسب $a$ و $b$ و $c$ بدست آید که همان سطر سوم ماتریس وارون ماست:

(13)

$\large y=b-2c+7z \; \rightarrow \; 5c-18z-b=a \; \rightarrow \; z=-\frac{1}{18}a-\frac{1}{18}b+\frac{5}{18}c$

حال کافی است $z$ که بدست آوردیم را در رابطه ای که در (13) برای $y$ حساب کردیم؛ جایگذاری کنیم تا سطر دوم نیز بدست آید:

(14)

$\large y=b-2c+7(-\frac{1}{18}a-\frac{1}{18}b+\frac{5}{18}c) \; \rightarrow \; y=-\frac{7}{18}a+\frac{11}{18}b-\frac{1}{18}c$

الان رابطه $y$ و $z$ بدست آمده در بالا را در رابطه محاسبه شده برای $x$ که در (12) جایگذاری می کنیم تا سطر اول نیز حساب شود:

(15)

$\large x=c-y-4z \; \rightarrow \; x=\frac{11}{18}a-\frac{7}{18}b-\frac{1}{18}c$

کار تمام است! ماتریس $A^{-1}$ به صورت زیر است:

$\large A^{-1}=\displaystyle{\begin{bmatrix}\frac{11}{18}&-\frac{7}{18}&-\frac{1}{18}\\-\frac{7}{18}&\frac{11}{18}&-\frac{1}{18}\\-\frac{1}{18}&-\frac{1}{18}&\frac{5}{18}\end{bmatrix}}$

---

با روش بالا، ماتریس وارون مراتب بالاتر از $3$ نیز قابل محاسبه است اما حل می تواند طاقت فرسا و زمانبر باشد.

3-56 جمع بندی فصل

با وارون یک ماتریس و نحوه محاسبه آن آشنا شدیم. ماتریس معکوس را می توان از روش های دیگری همچون ماتریس الحاقی، روش حذفی گاوس-جردن نیز محاسبه کرد.

 

تمرینات فصل

*1- معکوس ماتریس یکه $I_n$ چیست؟

*2- $U^{-1}$  را محاسبه کنید. سپس نشان دهید $UU^{-1}=I_3$ برقرار است:

$\large U=\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\2 & 2 & 1 \\1 & 1 & 4 \\ \end{bmatrix}$

 

ترتیب فصل	قبلی	فعلی	بعدی
عنوان	55 ماتریس : دترمینان	56 ماتریس : ماتریس وارون	57 بردار : مقدمه