در علوم تجربی، گاها با کمیت هایی روبهرو می شویم که تنها دارای مقدار هستند. به این کمیت ها، کمیت اسکالر یا نرده ای می گوییم. کمیت های فیزیکی مانند جرم و دما اینگونه اند. اما کمیت هایی نیز وجود دارند که علاوه بر مقدار دارای جهت اند؛ مثلا در جابجایی یک جعبه بر روی زمین، اگر بگویم این جعبه
1-57 تعریف
بردارها اشیائی دارای اندازه(بزرگی) و جهت اند. اگر ذره ای داشتیم که تنها در یک بعد حرکت می کرد؛ کافی بود که جهت حرکت آن را مثبت و خلاف آن را منفی در نظر بگیریم (شبیه محور اعداد). اما برای ذراتی که در صفحه حرکت می کنند؛ وضعیت به این سادگی نیست. جابجایی باز در اینجا به من کمک خواهد کرد.
فریدون بوسیله دوچرخه از دانشگاه به سمت خانه حرکت می کند. در مسیر او باید یک کیلومتر به سمت شرق و دو کیلومتر به سمت شمال رکاب بزند تا به خانه برسد:
شکل 57-1، مسیر برگشت فریدون از دانشگاه
چون این جابجایی جهت دار است؛ بوسیله یک بردار آن را توصیف می کنیم. یک محور اعداد در راستای شمالی-جنوبی و یک محور در راستای شرقی-غربی درنظر می گیریم. اگر دو محور در یک مبداء مختصات (مثلا در اینجا مکان دانشگاه) قطع کنند؛ می توان جابجایی فریدون را به صورت زیر در دستگاه مختصات دکارتی نمایش داد:
شکل 57-2، بردار جابجایی فریدون
یک بردار را معمولا با حرف کوچک لاتین و با علامت مخصوص نمایش می دهیم. علاوه بر نمایش هندسی، نمایش ماتریس بردار نیز حائز اهمیت است. بردار را به صورت ماتریسی ستونی نشان می دهیم که درایه سطر اول، میزان انتقال در جهت محور
(1)
در مثال فریدون،
این همان اندازه بردار جابجایی است؛ پس بطور کلی اندازه یک بردار از قضیه فیثاغورث حاصل می شود؛ چون مولفه های
(2)
2-57 بردار یکه
برداری که اندازه آن یک باشد را بردار یکه می گوییم. از هر برداری می توان یک بردار یکه ساخت؛ تنها کافی است که بردار را بر اندازه خود تقسیم کنیم:
(3)
می توان گفت که بردار یکه نشان دهنده از جهت نمایندگی می کند. برای مثال بردار یکه جابجایی فریدون به صورت زیر است:
شکل 57-3، بردار یکه
3-57 بردارهای پایه
بردارهای پایه، بردارهایی یکه اند که جهت محورهای اصلی مختصات را نشان می دهند و به همین دلیل برهم عمودند. بردار پایه محور
(4)
ویژگی بارز بردارهای پایه این است که می توان هربردار در صفحه را می توان به شکل ترکیبی از این دو بردار نشان داد؛ به عنوان یک نمونه برای بردار جابجایی فریدون داریم:
(5)
4-57 قرینه یک بردار
با قرینه سازی مولفه های بردار، بردار قرینه می شود، قرینه بردار رابطه (1) به صورت زیر است:
(6)
قرینه هربردار، همانند چرخش
شکل 57-4، قرینه بردار جابجایی فریدون
5-57 ضرب عدد در بردار
ضرب یک عدد دلخواه
(7)
قرینه یک بردار، مثالی از ضرب عدد
6-57 جمع و تفریق برداری
برای جمع یا تفریق دو بردار، کافی است مولفه های آنها را باهم جمع یا از هم کم کنید. برای دو بردار دلخواه
(8)
(9)
از رابطه (8) واضح است که جمع دو بردار جابجایی پذیر است.
*مثال 57-1)
با استفاده از اطلاعات زیر، عبارت
پاسخ
ابتدا بردار های یکه
البته واضح بود که چون
7-57 تصویر بردار بر روی محورها (محاسبه مولفه)
برای یک بردار، طول آن و زاویه ای که با محور
شکل 57-5، بردار
از مثلث قائم الزاویه و روابط مثلثاتی حاکم بر آن می دانیم:
(10)
بنابراین مولفه های بردار، با توجه به اندازه بردار و زاویه آن با محور
(11)
خوشبختانه مثلثات اجازه می دهد رابطه بالا را برای هر
*مثال 57-2)
مولفه های بردار
پاسخ
از (11) مولفه های بردار را حساب می کنم:
بدین ترتیب
شکل 57-6، مثال 57-2
8-57 جمع بندی فصل
با مقدماتی از بردار، نحوه جمع و تفریق آنها، بردار یکه، بردارهای پایه و محاسبه مولفه ها آشنا شدیم. در ادامه تمریناتی برای گرم شدن شما در این مباحث این فصل می آورم. امید است که مفید واقع شود.
تمرینات فصل |
*1- بردارهای زیر را درنظر بگیرید و خواسته ها را انجام دهید:
*2- بردار صفر برداری است که هیچ مولفه ای ندارد:
(12)
با استفاده از رابطه (1) و (6) نشان دهید:
(13)
*3- با درنظر گرفتن اولویت پرانتز و جمع مولفه ها، برای سه بردار دلخواه
(14)
*4- مولفه های بردار
ترتیب فصل |
قبلی |
فعلی |
بعدی |
عنوان |
56 ماتریس : ماتریس وارون |
57 بردار : مقدمه |
58 بردار : ضرب داخلی |