SCIENCIO

مشتق ؛ مشتق عملیات های اصلی و قاعده زنجیره ای

آموزش, آموزش ریاضی

در مقالات قبلی با تعریف مشتق ، مشتق چند جمله ای و مثلثاتی آشنا شدیم. حال می خواهیم نحوه محاسبه مشتق دو تابع که با عملیات های اصلی به هم مرتبط شده اند یا با هم ترکیب شده اند را بررسی کنیم.

مشتق جمع دو تابع

همانطور که در چند جمله ای های توان دار دیدیم؛ جملاتی که بین آن ها جمع باشد، مستقل از یکدیگر مشتق گرفته می شوند و با هم جمع می شوند تا مشتق عبارت ما ساخته شود، برای دو تابع f و g داریم (این رابطه به هر تعداد تابع قابل تعمیم است):

(1)

$(f+g)'=f'+g'$

*تمرین حل شده)

مشتق عبارت $y=\cos x+5x^{5}+2x$ را محاسبه کنید.

$y'=-\sin x+25x^{4}+2$

مشتق ضرب دو تابع

مشتق ضربی بصورتی است که برای دو تابع f و g، حاصل جمع مشتق f در تابع g و مشتق g در تابع f است:

(2)

$(f.g)'=f'g+g'f$

*تمرین حل شده)

مشتق عبارت $y=(5x)(\sin x)$ را محاسبه کنید.

با توجه به رابطه دو:

$y'=(5)(\sin x)+(\cos x)(5x)$

مشتق تقسیم دو تابع

رابطه زیر برای مشتق تقسیم دو تابع در صورتی که تابع g نامساوی صفر باشد:

(3)

$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-g'f}{g^{2}}$

*تمرین حل شده)

مشتق عبارت y=tan x را محاسبه کنید.

$(\tan x)'=(\frac{\sin x}{\cos x})'=\frac{(\cos x)(\cos x)-(-\sin x)(\sin x)}{(\cos x)^{2}} \\ \\ =1+\tan ^{2}x$

مشتق ترکیب دو تابع – قاعده زنجیره ای

هنگامی که دو تابع با هم ترکیب شده باشد از قاعده زنجیره ای استفاده می کنیم، به این صورت که از درونی ترین بخش شروع به مشتق گرفتن می کنیم:

(4)

$(f(g))'=g'.f'(g)$

**تمرین حل شده)

مشتق عبارت $y=\sin(\tan (x^{2}))$ را محاسبه نمایید.

مشتق گیری را از درونی ترین بخش آغاز می کنیم، در هر مرحله به محتوای تابع احترام می گذاریم و دیگر از آن مشتق نمیگیریم:

$y'=(2x)(1+\tan(x^{2}))(\cos(\tan(x^{2})))$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی:

درگاه مشتق ؛ مشتق عملیات های اصلی و قاعده زنجیره ای در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ