مشتق ؛ مشتق چند جمله ای توانی

آموزش, آموزش ریاضی

در مقاله قبلی با تعریف و مثال های ابتدایی مشتق آشنا شدیم. در این مقاله خواهیم دید که مشتق یک عبارت توانی چگونه گرفته می شود.

نمادگذاری لایب نیتس برای مشتق

نمادگذاری که در مقاله پیشین با آن آشنا شدیم نمادگذاری لاگرانژی است. اگر تابع f(x) را y بنامیم؛ فرم مشتق y بر حسب x بصورت زیر است:

(1)

$f'(x)=\frac{dy}{dx}$

تعبیر هندسی این نمادگذاری به صورتی است که اگر حاصل تقسیم اختلاف عرض ها بر اختلاف طول ها را شیب خط بنمامیم ( $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ )؛ همانطور که در تعریف مشتق بررسی کردیم برای شیب خط مماس این اختلاف آنقدر کوچک می شود که به صفر میل می کند؛ پس dy/dx را اختلاف عرض ها و اختلاف طول ها در حالتی بسیار کوچک در نظر می گیریم.

قاعده توانی

*تمرین حل شده)

مشتق عبارت $y=ax^{n}$ با شرط (a عدد ثابت) در نقطه x=b را محاسبه کنید.

$\\ \lim_{x\rightarrow b}f'(b)=\lim_{x\rightarrow b}\frac{ax^{n}-ab^{n}}{x-b}=\lim_{x\rightarrow b}\frac{a(x^{n}-b^{n})}{x-b}\\ =\lim_{x\rightarrow b}a(x^{n-1}+x^{n-2}b+....+xb^{n-2}+b^{n-1})=an(b^{n-1})$

از تمرین بالا نتیجه می گیریم فرم کلی معادله مشتق یک عبارت توانی بصورت زیر است و دیگر نیازی به نوشتن حد و محاسبه آن وجود ندارد؛ معادله زیر به قاعده توانی مشهور است؛

(2)

$f'(x)=\frac{d}{dx}(ax^{n})=an(x^{n-1})$

هرگاه بین دو یا چند جمله توان دار، جمع باشد؛ می توان تک تک آن ها را مشتق گرفت و حاصل مشتق ها را با هم جمع کرد:

(3)

$f'(x)=\frac{d}{dx}(ax^{n}+bx^{m}) =an(x^{n-1})+bm(x^{m-1})$

مشتق عدد ثابت

با استفاده از قاعده توانی به راحتی می توان ثابت کرد مشتق یک عدد ثابت صفر است:

(4)

$f'(x)=\frac{d}{dx}(ax^{0}) =a(0)(x^{-1})=0$

*تمرین حل شده)

مشتق عبارت $y=4x^{2}+6x^{5}-3$ را محاسبه نمایید.

برای هر جمله توان را در ضریب ضرب کرده و از توان یکی کم می کنیم:

$\\ y'=\frac{dy}{dx}=4(2)x^{2-1}+6(5)x^{5-1}+0 \\ \\ y'=8x+30x^{4}$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی:

SCIENCIO

مشتق ؛ مشتق چند جمله ای توانی

نمادگذاری لایب نیتس برای مشتق

قاعده توانی

مشتق عدد ثابت

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه مشتق ؛ مشتق چند جمله ای توانی در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ