در این فصل، به قضایای مهمی می پردازیم که محاسبه حد را در بسیاری از مسائل ساده تر می کند. البته می توان گفت که در فصل قبل نیز به طور نامحسوسی از آنها بهره بردیم اما اینجا، مدون و مرتب آن ها را می آموزیم.

1-37 حد تابع ثابت و تابع همانی

حد تابع ثابتی مثل $f(x)=c$ که در آن $c$ عددی معلوم و حقیقی است، همیشه و در ازای هر عددی مانند $a$ برابر با $c$ خواهد بود:
(1)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}c}=c $

حد تابع همانی مثل $f(x)=x$ در هر عدد دلخواهی مانند $a$ برابر با $a$ است:

(2)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}x}=a $

2-37 حد عملیات های اصلی میان دو تابع

فرض کنید دو تابع $f(x)$ و $g(x)$ در $x=a$ موجود است و مقدار این دو حد به صورت زیر می باشد:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}=L_{1}$
$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=L_{2}$

حد مجموع دو تابع در $x=a$ به صورت زیر است:

(3)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)+g(x)}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}+\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=L_{1}+L_{2}$

حد تفاضل دو تابع در $x=a$ به شکل زیر بدست می آید:

(4)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)-g(x)}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}-\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=L_{1}-L_{2}$

حد حاصل ضرب دو تابع نیز نتیجه ای قابل انتظار و شبیه به دو عبارت بالا دارد:

(5)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)\times g(x)}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}\times \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}=L_{1}\times L_{2}$

حد حاصل تقسیم دو تابع یک شرط مهم دارد که برای برقراری رابطه زیر باید $L_{2} \neq 0$ درست باشد(البته در صورت صفر بودن $L_{2}$ لزوما حاصل تقسیم بدون حد نیست اما از رابطه زیر نمی توان حد را بدست آورد).:

(6)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}}{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}}=\frac{L_{1}}{L_{2}} $

بدون مشکل خاصی می توان دو مورد (حد مجموع و حد حاصل ضرب) را به هرتعداد تابع تعمیم داد. به شرطی که حد توابع موردنظر در $x=a$ موجود باشد.

*مثال 37-1)

ثابت کنید عبارت زیر برقرار است:

(7)

$\large\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}x^{n}}=a^{n}$

پاسخ

از رابطه (2) حد تابع همانی را می دانیم و همچنین می توانیم که حد حاصل ضرب را به هرتعداد تابع دلخواه تعمیم دهیم، تابع را $n$ حاصل ضرب از $x$ در نظر بگیرید:

$\large\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}(x)(x)…(x)=\lim_{x\rightarrow a}(x)\lim_{x\rightarrow a}(x)…\lim_{x\rightarrow a}(x)}=(a)(a)…(a)=a^{n}$

3-37 حد توابع مثلثاتی

حد توابع مثلثاتی نیز به سادگی قابل محاسبه است و فرقی با قراردادن مقدار در آرگومان سینوس و کسینوس ندارد:

(8)

$\large\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\sin(x)}=\sin(a)$

(9)

$\large\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\cos(x)}=\cos(a)$

*مثال 37-2)

حد $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\tan(x)}$ را محاسبه کنید.

پاسخ

تانژانت چیزی جز سینوس تقسیم بر کسینوس نیست پس از حد حاصل تقسیم استفاده می کنیم و سپس (6) و (7) را در نظر می گیریم:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\tan(x)}=\frac{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\sin(x)}}{\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\cos(x)}}=\frac{\sin(0)}{\cos(0)}=0$

توجه کنید که در تمامی $x$ ها نمی توان کار بالا را انجام داد؛ مثلا حد تانژانت در $\frac{pi}{2}$ را نمی توان به صورت بالا محاسبه کرد زیرا مخرج صفر می شود.(برای تابع تانژانت در آن نقطه حد وجود ندارد اما الزامی نیست که اگر مخرج صفر شد حد وجود نداشته باشد!)

4-37 جمع بندی فصل

در این فصل با حد توابع ثابت، همانی و مثلثاتی و همچنین حد عملیات های اصلی مابین این توابع آشنا شدیم. این قضایای کاربردی که به ما امکان محاسبه طیف وسیعی از حدها را می دهد.

*1- فرض کنید تابع $f$ در $a$ حد دارد و $c$ یک عدد ثابت است. قضیه زیر را به کمک قضایای بالا اثبات کنید:

(10)

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}cf(x)}=c\; \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$