در این فصل به رفع ابهام در حد می پردازیم. گاهی ممکن است که حاصل هم صورت و هم مخرج کسر در حد صفر باشد. در این زمان دیگر نمی توان از حد حاصل تقسیم بهره برد. در این صورت باید با استفاده از تجزیه، اتحادها و… در صورت و مخرج کسر عوامل مشترکی ایجاد کنیم که مسبب صفرصفرم ($\frac{0}{0}$) شدن کسر هستند. این عوامل را حذف می کنیم تا بتوان حد کسر را در نقطه موردنظر محاسبه کرد. در اینجا به چند روش کارآمد برای راهبرد مسائل می پردازیم.

1-38 تجزیه و اتحاد

گاهی با شناخت اتحادها و تجزیه عبارات، می توان رفع ابهام را انجام داد. به مثال 38-1 دقت کنید:

*مثال 38-1)

مقدار عبارت رو به رو را بیابید. $a$ عددی حقیقی است.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}}$

پاسخ

در صورت قراردادن $a$ در صورت و مخرج، هردو صفر می شوند. پس بهتر است صورت را با استفاده از اتحاد مزدوج تجزیه کنیم؛ سپس عامل مشترک با مخرج را ساده کنیم تا پاسخ بدست آید:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a}$

اگر رادیکال عجیب و غریبی دیدید؛ ممکن است با اتحادها بتوان کار را پیش برد. مثال 38-2 در همین زمینه آمده است:

*مثال 38-2)

حد رو به رو را حساب کنید.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{3x-5}-2}{x^{2}-9}}$

پاسخ

ابتدا صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب می کنیم:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt{3x-5}-2}{x^{2}-9}\times \frac{\sqrt{3x-5}+2}{\sqrt{3x-5}+2}}$

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(\sqrt{3x-5})^2-(2^2)}{(x^{2}-9)(\sqrt{3x-5}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{3x-9}{(x^{2}-9)(\sqrt{3x-5}+2)}}$

اگر در صورت از $3$ فاکتور بگیریم و $(x^{2}-9)$ در مخرج را تجزیه کنیم؛ می توانیم عامل ابهام را ساده کنیم و حاصل را بدست آوریم:

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 3}\frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)(\sqrt{3x-5}+2)}=\frac{1}{8}}$

2-38 هم ارزی

هم ارزی به این معنی است که می توان برخی از توابع مثلثاتی را با عبارات توان دار جایگزین کرد و سپس حد را محاسبه نمود؛ زیرا تابع تواندار جایگزین در نزدیکی برخی نقاط شبیه تابع مثلثاتی عمل می کند. تنها در شرایطی که حد تابع در $x=0$ اندازه گیری شود؛ می توانیم از روابط زیر بهره ببریم:

(1)

$\large \sin(x)\sim x$

کسینوس به خودی خود نزدیک صفر، صفر نمی شود. اما عبارتی همچون $1-\cos(x)$ چرا. پس باید یک جایگزین یا هم ارز برای کسینوس بنویسیم:

(2)

$\large 1-\cos(x)\sim \frac{x^2}{2}$

*مثال 38-3)

حد عبارت روبه رو را محاسبه کنید.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin(x)}{1-\cos(x)}}$

پاسخ

ابتدا بررسی می کنیم که حد در صفر محاسبه می شود یا خیر. سپس هم ارزی ها را جایگزین توابع مثلثاتی می کنیم.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x)}{(\frac{x^2}{2})}=2}$

3-38 جمع بندی فصل

در این فصل با دو روش که طیفی از مسائل رفع ابهام را برای ما حل می کند؛ آشنا شدیم. دانستن اتحادهای جبری و مثلثاتی در محاسبه این گونه حدها کارآمد است.

*1- حد زیر را محاسبه کنید.

$\large \displaystyle{\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin(2x)}{4x}}$