این فصل به ویژگی ها یا خواص لگاریتم اختصاص دارد که برای حل مسائل گوناگون مربوط به لگاریتم کارگشاست. ابتدا با برخی از خواص ساده و مشهودتر لگاریتم آشنا می شویم و سپس به سراغ دیگر ویژگی ها می رویم.
1-35 ویژگی های لگاریتم
دو خاصیت زیر تنها ناشی از به توان صفر یا یک رساندن پایه است؛ فرض کنید $a$ عددی مثبت و نامساوی با یک است:
(1)
$\large a^{0}=1 \Leftrightarrow \log_{a}1=0 $
(2)
$\large a^{1}=a \Leftrightarrow \log_{a}a=1 $
برای اعداد حقیقی مثبت $a,b,c$ که $c$ مخالف یک است؛ رابطه زیر برقرار است که نشان می دهد جمع دو لگاریتم با پایه مشترک، برابر با لگاریتم حاصل ضرب آرگومان ها بر پایه مشترک است:
(3)
$\large \log_{c}ab=\log_{c}a+\log_{c}b$
رابطه بالا به هرتعداد جمع لگاریتم قابل تعمیم است.
* مثال 35-1)
رابطه (3) را اثبات کنید.
پاسخ
دو عبارت زیر را در نظر بگیرید:
$\large x=\log_{c}a,y=\log_{c}b$
طبق تعریف لگاریتم و ارتباط آن با توان می دانیم:
$\large c^{x}=a , c^{y}=b$
حال دو عبارت بالا را در یکدیگر ضرب می کنیم و از تعریف لگاریتم بهره می بریم؛ رابطه (3) اثبات می شود:
$\large c^{x+y}=ab \rightarrow \log_{c}ab=x+y=\log_{c}a+\log_{c}b$
به طریق مشابه مثال 35-1، می توان اثبات نمود که رابطه زیر نیز برقرار است (تنها به جای ضرب، کافی است دو عبارت $c^{x}=a , c^{y}=b$ را برهم تقسیم کنیم):
(4)
$\large \log_{c}\frac{a}{b}=\log_{c}a-\log_{c}b$
خاصیت مهم دیگر، خروج توان آرگومان از لگاریتم و تبدیل آن به ضریب لگاریتم است:
(5)
$\large \log_{c}a^{n}=n\log_{c}a$
اثبات
از تعریف توان (که چند ضرب متوالی است) و رابطه (3) استفاده می کنم:
$\large \log_{c}(a\times a \times … \times a)=\log_{c}a+\log_{c}a+…+\log_{c}a $
سمت راست عبارت بالا از تعریف ضرب بهره می برم که چند جمع پی در پی است، رابطه (5) حاصل این کار است.
خاصیتی شبیه به رابطه (5)، درصورت تواندار بودن پایه لگاریتم وجود دارد که در آن معکوس توان، ضریب لگاریتم می شود:
(6)
$\large \log_{c^{n}}a=\frac{1}{n}\log_{c}a$
اثبات رابطه بالا را به شما در تمرین 35-1 سپردم که بازهم از تعریف لگاریتم و تبدیل آن به عبارت تواندار صورت می پذیرد.
ویژگی دیگر لگاریتم، تبدیل یک لگاریتم به حاصل تقسیم دو لگاریتم بر پایه ای دیگر (البته یکسان بین لگاریتم صورت و لگاریتم مخرج) است؛ رابطه (7) را بنگرید:
(7)
$\large \log_{c}a=\frac{\log_{b}a}{\log_{b}c}$
اثبات
دو عبارت زیر را در نظر بگیرید:
$\large p=\log_{b}a,q=\log_{b}c$
پس خواهیم داشت:
$\large b^{p}=a , b^{q}=c$
حاصل به جای $a$ و $c$ در سمت چپ تساوی رابطه (7) جایگذاری می کنم و از دو رابطه (5) و (6) برای خارج کردن توان آرگومان و پایه استفاده می کنم:
$\large \log_{b^{q}}b^{p}=\frac{p}{q}$
اگر دقیق نگاه کنید، پی میبرید که سمت راست تساوی، همان سمت راست تساوی رابطه (7) است.
دیگر خاصیت جالب، حضور یک لگاریتم در توان یک عدد است؛ اگر پایه توان و لگاریتم یکسان باشد، حاصل عبارت آرگومان لگاریتم خواهد بود:
(8)
$\large c^{log_{c}a}=a$
اثبات
عبارت زیر را در نظر بگیرید:
$t=log_{c}a$
از تعریف توان و لگاریتم به نتیجه زیر می رسیم:
$c^{t}=a$
حال در عبارت بالا، $t$ را با $log_{c}a$ جایگذاری کنید. رابطه (8) اثبات می شود.
* مثال 35-2)
اگر $\log_{9}8=a$ باشد؛ حاصل $\log_{3}64$ را برحسب $a$ محاسبه کنید.
پاسخ
از رابطه (6) استفاده می کنیم تا لگاریتم بر پایه $3$ شود:
$\large \log_{3}8=2a$
حال دو طرف عبارت را در دو ضرب می کنیم؛ با این تفاوت که ضریب لگاریتم را به توان آرگومان می بریم تا خواسته سوال تشکیل شود:
$\large 2\log_{3}8=4a \rightarrow \log_{3}64=4a$
2-35 جمع بندی فصل
با ویژگی های لگاریتم آشنا شدیم. این ویژگی ها، کاربرد گسترده ای در ساده سازی و محاسبه عبارت های لگاریتمی دارد. بخاطر سپردن خواص لگاریتم، با توجه به اینکه اثبات آن ها خیلی ساده نیست؛ مفید خواهد بود.
| تمرینات فصل |
*1- رابطه (6) را اثبات کنید.
*2- اگر $\ln{3}=a$ و $\ln{2}=b$ باشد؛ $\ln{144}$ را برحسب $a$ و $b$ محاسبه نمایید.
ترتیب فصل |
قبلی |
فعلی |
بعدی |
عنوان |
34 لگاریتم : مقدمه |
35 لگاریتم : ویژگی ها |
36 حد : مقدمه |
