پس از آشنایی با مجموعه اعداد حقیقی، در این فصل به بازه می پردازیم. هر بازه، زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی است که از عددی شروع می شود، به عددی دیگر ختم می شود و تمامی اعداد مابین را در برمی گیرد. بازه ها بخش هایی از محور اعداد حقیقی را در بر می گیرند و تمامی خاصیت مجموعه را دارا می باشند. برای مثال بازه $(1,5)$ شامل تمامی اعدادی است که مابین 1 و 5 قرار دارند.

1-28 بازه باز

به بازه ای باز گفته می شود که نقاط ابتدایی و انتهایی بازه (به این دو نقطه کران بازه نیز می گویند) در آن وجود نداشته باشد. بازه باز a تا b را به صورت $(a,b)$ نمایش می دهیم که معادل نمایش ضابطه ای زیر است:

(1)

$\large (a,b)=\{x\in \mathbb{R}\: |\: a<x<b\} $

2-28 بازه نیم باز

بازه ای که ابتدا یا انتهای بازه در آن نیست. هرکدام از دو سر بازه که در بازه نیست در کنار پرانتز قرار می گیرد و هرکدام که در بازه هست در کنار کروشه می نویسیم؛ به عنوان مثال بازه نیم باز a تا b که شامل a است و شامل b نیست را به صورت $[a,b)$ می نویسیم که معادل نمایش ضابطه ای زیر است:
(2)

$\large [a,b)=\{x\in \mathbb{R}\: |\: a\leq x<b\} $

3-28 بازه بسته

بازه ای که ابتدا و انتهای بازه در آن حضور دارد. بازه بسته a تا b را به صورت $[a,b]$ نمایش می دهیم که هم ارز نمایش ضابطه ای زیر است:

(3)

$\large [a,b]=\{x\in \mathbb{R}\: |\: a\leq x\leq b\}$

4-28 جبر مجموعه ها

همانطور که گفتم بازه یک مجموعه است؛ پس اعمالی مثل اجتماع، اشتراک و… در مورد بازه ها نیز صدق می کند.

* مثال 28-1)

اجتماع و اشتراک دو بازه $[1,6]$ و $(5,8)$ را محاسبه نمایید.

پاسخ

محاسبه اجتماع سرراست است:

$\large [1,6] \cup (5,8) = [1,8)$

می دانیم که بازه مشترک بین دو بازه صورت سوال، از 5 تا 6 است. 5 در بازه اول هست اما در بازه دوم نیست؛ پس عضو مشترک نیست اما 6 در هردو بازه یافت می شود پس عضو مشترک است:

$\large [1,6] \cap (5,8) = (5,6]$

5-28 جمع بندی فصل

با مفهوم بازه آشنا شدیم. همانطور که دیدید؛ بازه چیزی فراتر از یک نمادگذاری جدید برای زیرمجموعه های اعداد حقیقی نیست. به واسطه کاربرد گسترده بازه در ریاضیات، این نیاز احساس می شد که نمادی ساده تر از شکل ضابطه ای مجموعه داشته باشیم. نکته دیگر در مورد جبر مجموعه هایی به شکل بازه این است که برای درک بهتر، می توان از محور اعداد حقیقی و مشخص کردن بازه ها روی آن نیز استفاده نمود.

*1- عبارت $[1,5)-(2,3)$ را به صورت اجتماع دو بازه نشان دهید.

*2- بازه های بی کران، بازه ای که از یک طرف یا هر دو طرف، کرانی نداشته باشد را بازه بی کران می نامیم. برای مثال جواب های نامعادله $x>3$ را می توان به صورت بازه $(3,+\infty)$ و جواب نامعادله $x<1$ را به صورت بازه $(-\infty,1)$ نمایش داد که در آن $\infty$ نماد بی نهایت است.

در شرایطی که مجموعه مرجع، مجموعه اعداد حقیقی است؛ متمم بازه $[-1,4)$ را به صورت اجتماع دو بازه بی کران نشان دهید.