در این فصل، با استفاده از دانشی که از مجموعه ها کسب کردیم؛ به احتمال می پردازیم. احتمال، امکان وقوع یک پیشامد را در برابر ما قرار می دهد. هرچقدر احتمال وقوع یک پدیده بیشتر باشد؛ ما نیز اطمینان بیشتری به رخداد آن پیدا می کنیم. عددی که به عنوان احتمال وقوع یک پدیده می شناسیم؛ معمولا در بازه صفر تا یک قرار دارد (البته بیان احتمال به درصد نیز رایج است).

1-26 تعریف

می خواهم تاس بیندازم! فرض کنید اگر عدد تاس زوج بیاید؛ امروز را به تفریح می گذارنم. پس پیشامد مطلوب من آمدن اعداد زوج پس از انداختن تاس است. هرکدام از اعضای مجموعه $A=\{2,4,6\}$ بیاید، برای من فرقی نمی کند. کل حالات ممکن هم مجموعه $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ است. در نگاه اول تاس مشکل خاصی ندارد و انگار که تمامی حالت ها (آمدن یک، دو، سه و…) هم شانس هستند. پس مناسب ترین رابطه برای توصیف احتمال رخداد پیشامد A، این است که تعداد اعضای مجموعه A (حالت مطلوب) را تقسیم بر تعداد اعضای مجموعه S (مجموعه تمامی حالت ها که به این مجموعه فضای نمونه نیز می گوییم) کنیم:

(1)

$\large P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

که در رابطه بالا $P(A)$ احتمال رخ دادن پیشامد A است. اگر به مسئله تفریح یا عدم تفریح من برگردیم؛ می بینیم که احتمال رخداد پیشامد مطلوب من 0.5 است.

* مثال 25-1)

دو سکه را همزمان با هم می اندازیم. احتمال اینکه حداقل یکی از سکه ها رو بیاید چقدر است؟

پاسخ

مجموعه تمامی حالات ممکن به صورت زیر است:(رو را با $r$ و پشت را با $p$ نشان دادم)

$\large S=\{(r,r),(r,p),(p,p),(p,r)\}$

ما به دنبال حالت هایی هستیم که در آن “رو” وجود دارد؛ تنها در حالت (p,p) است که رو نداریم. پس احتمال مدنظر ما $P(A)=\frac{3}{4}$ است.

2-26 احتمال متمم پیشامد

متمم پیشامد A، شامل حالاتی است که در A حضور ندارند. پس این مفهوم را می توان به همان مجموعه متمم نسبت داد. در بعضی مسائل محاسبه احتمال پیشامد متمم راحت تر از خود پیشامد مطلوب است. در مثالی که در 26-1 مطرح کردم؛ پیشامد متمم، فرد آمدن تاس و در مثال 25-1، متمم این است که هیچ کدام از سکه ها رو نیاید.

گفتم که S مجموعه ای شامل تمامی حالات ممکن است. می توان این را با مفهوم مجموعه مرجع هم ارز گرفت. رابطه زیر، قابل درک است:

(2)

$\large n(A)+n(A’)=n(S)$

حال کل عبارت بالا را به $n(S)$ تقسیم می کنم. در طرف چپ احتمال پیشامد A و احتمال پیشامد ‘A شکل می گیرد:

(3)

$\large P(A)+P(A’)=1 \rightarrow P(A)=1-P(A’)=1-\frac{n(A’)}{n(S)} $

3-26 اجتماع دو پیشامد

اجتماع دو پیشامد A و B یعنی یا A رخ بدهد یا B رخ بدهد (اشتراک دو پیشامد مذکور به این معنی است هم A رخ بدهد هم B رخ بدهد) که برای تعداد حالات(اعضا) دو پیشامد A و B از فضای نمونه S، رابطه زیر برقرار است:

(4)

$\large n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

باز هم کل عبارت را بر $n(S)$ تقسیم می کنیم تا احتمالات ظاهر شوند:

(5)

$\large P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

4-26 جمع بندی فصل

در مورد اصول اولیه احتمال صحبت کردیم. اگر هنوز با رابطه (1) موافق نیستید، من تنها می توانم به شما بگویم که نتایجی بدست آمده از این اصول، بر آمارهای گرفته شده از مسائل واقعی منطبق است. مثلا در پرتاب 10 میلیون بار یک تاس، می توان با اطمینان خوبی گفت که نزدیک 5 میلیون بار سروکله اعداد زوج پیدا می شود. برای شبیه سازی، می توانید کد پایتون زیر را در یک مفسر پایتون اجرا کنید (مانند وبسایت onlinegdb ). خروجی کد تعداد اعداد زوج در 10 میلیون بار پرتاب تاس است.

import random
dice=[1,2,3,4,5,6]
result=[]
for i in range(10000000):
    r=random.choice(dice)
    result.append(r)
print(result.count(2)+result.count(4)+result.count(6))

*1- احتمال “مجموع دو عدد تاس 8 باشد یا تاس فرد بیاید” را محاسبه کنید.

*2- مشهور است که دالامبر، ریاضیدان و فیزیکدان مشهور، به اشتباه فکر می کرد که اگر دو سکه را همزمان پرتاب کنیم؛ حالت پشت – رو و حالت رو – پشت، دو حالت مستقل نیستند. پس فضای نمونه پرتاب دو سکه، سه حالت دارد. از دیدگاه دالامبر، پرتاب همزمان دو تاس، فضای نمونه چند عضوی تولید می کند؟

شکل 26-1، ژان باپتیست لرون دالامبر (1717 میلادی – 1783 میلادی)

*3- دو پیشامد A و B را از فضای نمونه S درنظر بگیرید؛ اگر $A \cap B=\varnothing$ باشد؛ A و B را دو پیشامد ناسازگار گوییم. اگر $P(A)=0.3$ و $P(A \cup B)=0.7$ باشد؛ $P(B)$ را محاسبه نمایید.