پس از آشنایی با معادله درجه اول، دیگر نمی توان از معادله غول ساخت؛ بلکه باید در آن عمیق شد و تامل کرد. معادله درجه دوم، ویژگی های خود را با نامش حمل می کند. بزرگترین توانش دو است و حداکثر دو جواب دارد. حال باید با این معادله آشنا شویم و سپس آن را حل کنیم.

1-13 تعریف

هر معادله درجه دوم را می توان به شکل زیر درآورد:

(1)

$ \Large ax^{2}+bx+c=0 $

در رابطه (1)، $a$ و $b$ و $c$ معلوم اند و می توانند هر عددی باشند. x مجهول ماست و می تواند دو جواب، یک جواب یا هیچ جواب حقیقی نداشته باشد.(پایین تر می بینید که چرا)

2-13 جواب(ریشه) معادله درجه دوم

فکر می کنم برای درک بهتر جواب های معادله درجه دوم، بهتر است آن ها را بدست آوریم و همینجوری فقط حفظ نکنیم؛ پس این کار را انجام خواهیم داد:

اثبات

ابتدا رابطه (1) را بر $a$ تقسیم می کنم:

$ \Large x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $

هدفم این است که از این عبارت؛ یک مربع کامل زیبا استخراج کنم؛ جمله دوم عبارت بالا را چیزی شبیه $2ab$ در بسط $(a+b)^2$ فرض کنید:

$ \Large x^{2}+2\frac{b}{2a}x+\frac{c}{a}=0 $

عبارتی از مربع کامل که در معادله بالا نیست را اضافه و کم می کنم:

$x^{2}+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a}=0 $

حال مربع کامل را می سازم و هرچیزی که در مربع کامل استفاده نشده را به سمت راست تساوی می برم:

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

ایرادی ندارد که در سمت راست تساوی یک مخرج مشترک گیری انجام دهم تا تنها یک کسر داشته باشم:

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

یک ساده سازی مهم انجام می دهم؛ صورت کسر سمت راست را دلتا $\Delta$ می نامم:

(2)

$\Large \Delta=b^{2}-4ac $

حال از هردو طرف تساوی رادیکال می گیرم؛ حاصل جذابی دارد:

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

از همان $\pm$ می توان تاحدودی پی به دوگانگی جواب ها برد؛ حال مجهول را تنها می کنم تا حاصل بدست آید:

(3)

$\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

همانطور که در بالا می بینید؛ عبارتی که دلتا نام دارد نقش تعیین کننده ای در تعداد و ماهیت جواب ها دارد. اگر $\Delta > 0 $، معادله دو جواب مجزای حقیقی دارد. اگر $\Delta = 0 $ معادله تنها یک جواب مجزای حقیقی دارد. درصورتی که $\Delta < 0 $ باشد؛ زیر رادیکال منفی می شود؛ پس معادله جواب حقیقی ندارد.

* مثال 13-1)

ابتدا تعداد جواب های معادله $3x^{2}-6x+3=0 $ را بدست آورید؛ سپس جواب(های) معادله را تعیین کنید.

پاسخ

بهتر هست همیشه با ساده ترین ضرایب روبه رو شویم؛ پس کل معادله را بر 3 تقسیم می کنم. $x^{2}-2x+1=0$ ، حال از دلتا برای تعیین تعداد جواب ها کمک می گیرم:

$\Large \Delta=(-2)^{2}-4(1)(1)=4-4=0$

معادله سوال تنها یک جواب دارد؛ جواب معادله به راحتی از رابطه (3) بدست می آید:

$\Large x=\frac{-b}{2a} \rightarrow x=\frac{2}{2}=1$

3-13 مجموع و حاصل ضرب جواب های معادله درجه دوم

زمانی که معادله دارای دو جواب باشد؛ ممکن است بتوان یکی از جواب ها را از شکل معادله به سادگی حدس زد؛ محاسبه حاصل جمع و حاصل ضرب دو جواب می تواند جواب دیگر را به سرعت به ما معرفی کند. خوشبختانه دو عبارت ساده حاصل جمع و حاصل ضرب جواب های معادله درجه دوم هستند. البته این دو عبارت در یافتن جواب معادلات درجه یکی که تنها یک ریشه دارند نیز کمک حال ما خواهند بود؛ چون وقتی معادله درجه دوم یک جواب دارد؛ می توان اینگونه درنظر گرفت که دو جواب معادله باهم مساوی اند. حال برویم سراغ محاسبه این دو عبارت مهم:

اثبات

فرض کنید که جواب های معادله (1)، $x_{1}$ و $x_{2}$ است؛ حاصل جمع را می توان بصورت زیر حساب کرد:

$x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

رادیکال دلتا ها را باهم ساده می کنیم و عبارت حاصل جمع بدست می آید:

(4)

$\Large x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$

اثبات عبارت حاصل ضرب را به خودتان و تمرین 1 سپردم؛ مواظبش باشید!:

(5)

$\Large x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}$

4-13 جمع بندی فصل

با روش جامع حل معادلات درجه دوم آشنا شدیم. همچنین پی بردیم که علامت دلتا در تعیین تعداد جواب ها نقشی موثر دارد. از روشی که برای مربع کامل کردن رابطه (1) بهره بردم؛ می توان در برخی از مسائل استفاده کرد و ساده تر از محاسبه دلتا و رابطه (3) به جواب رسید اما خب از نظر مفهوم این دو روش تفاوتی ندارد.

*1- رابطه (5) را اثبات کنید.

*2- تعداد جواب های معادلات زیر را بدست آورید و در صورت امکان مقدار جواب را محاسبه کنید:

$\Large x^{2}-2=5(x^2-3x)$

$\Large (x-2)(x)=6$

*3- تلاش کنید $y=-x^{2}$ را با عددگذاری مناسب، در دستگاه مختصات رسم کنید(همین حالا نقطه برخورد آن با محور yها را دارید!)، اگر درست رسم کنید، شکلی همانند قوس رنگین کمان خواهید دید، این شکل سهمی نام دارد.