انتگرال ؛ تغییر متغیر

آموزش, آموزش ریاضی

در مقالات قبلی با انتگرال های مستقیم و همچنین روش کارآمد انتگرال جزء به جزء برای محاسبه برخی انتگرال های پیچیده کاربرد داشت؛ آشنا شدیم. حال می خواهیم روشی را معرفی کنیم که بسیاری از انتگرال های پیچیده را با تغییر های متغیر مناسب، تبدیل به انتگرالی قابل محاسبه می کند.

اگر تابع f(x) تابعی پیچیده و غیرقابل محاسبه مستقیم باشد؛ در صورتی که به تابع g(u) که تابعی قابل محاسبه است تبدیل شود؛ حاصل انتگرال ما بر حسب u بدست می آید که x خود تابعی از u است x=p(u):

(1)

$\\ x=p(u),dx=p'(u)du \\ \int f(x)dx=\int f(p(u))dx=\int f(p(u))p'(u)du=\int g(u)du= \\ G(u)+c=G(p^{-1}(x))+c=F(x)+c$

تعریف تا حدودی می تواند گمراه کننده باشد؛ در اینجا چند مثال را برای آموختن این روش میبینیم:

*تمرین حل شده)

$\int (3x+4)^6 dx$ را محاسبه کنید.

تغییر متغیر مناسب را اتخاذ می کنیم:

$u=3x+4\rightarrow du=3dx\rightarrow dx=\frac{du}{3}$

حال انتگرال را با جایگذاری برحسب متغیر های جدید حل می کنیم:

$\int \frac{1}{3}(u)^6du=\frac{1}{3}\int (u)^6du=\frac{1}{21}u^{7}+c=\frac{1}{21}(3x+4)^{7}+c$

**تمرین حل شده)

$\int \tan(x)dx$ را محاسبه کنید.

یکی از راهبرد های خوب در انتگرال گیری با تغییر متغیر ساخت مشتق عبارت مخرج در صورت است :

$\\ \int -\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}dx\xrightarrow[du=-\sin(x)dx]{u=\cos(x)}\int \frac{-1}{u}du \\ -\int \frac{1}{u}du=-\ln(\left | u\right |)+c=-\ln(\left | \cos(x)\right |)+c=ln(\left | \sec(x) \right |)+c$

***تمرین حل شده)

$\int \sqrt{\frac{2-x}{x}}dx$ را محاسبه کنید.

تغییر متغیر مناسب برای چنین عبارت های رادیکالی، تغییر متغیر مثلثاتی است:

$\\ \sqrt{\frac{2-x}{x}}=\tan(u)\rightarrow \frac{2-x}{x}=\tan^{2}(u)\rightarrow \frac{2}{x}-1=\tan^{2}(u) \\ \rightarrow \frac{2}{x}=\tan^{2}(u)+1\rightarrow \frac{2}{x}=\frac{1}{\cos^2(u)}\rightarrow x=2\cos^2(u)\rightarrow \\ dx=2(-\sin(u))(2\cos(u))du\rightarrow dx=-2\sin(2u)du$

حال تغییر متغیر را در عبارت انتگرال جایگذاری میکنیم و از روابط مثلثاتی برای ساده سازی استفاده می کنیم:

$\\ \int \sqrt{\frac{2-2\cos^2(u)}{2\cos^2(u)}}(-2\sin(2u))du=\int \sqrt{\frac{2-2\cos^2(u)}{2\cos^2(u)}}(-2\sin(2u))du \\ \\ =\int \sqrt{\sec^2(u)-1}(-2\sin(2u))du =\int (-4)\tan(u)\sin(u)\cos(u)du \\ \\=\int -2(2\sin^2(u))du=-2\int 1-cos(2u)du\\=-2(u-\frac{\sin(2u)}{2})+c$

حال تنها باید u ها را با x جایگذاری کرد که به وسیله توابع وارون مثلثاتی این تغییر متغیر امکان پذیر است و آن را به شما واگذار می کنیم.

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO

انتگرال ؛ تغییر متغیر

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه انتگرال ؛ تغییر متغیر در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ