انتگرال ؛ انتگرال جزء به جزء

آموزش, آموزش ریاضی

در این مقاله می خواهیم با ابزاری کارامد برای محاسبه برخی از انتگرال ها که محاسبه مستقیم آنها بعضا پیچیده و حتی غیرممکن باشد؛ آشنا شویم.

از مشتق ضرب دو تابع می دانیم:

$(f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$

حال از هر دو طرف تساوی انتگرال میگیریم:

$\int (f(x).g(x))'dx=\int f'(x).g(x)dx+\int f(x).g'(x)dx$

واضح است که حاصل ضرب دو تابع f و g برای مشتق خود یک تابع اولیه است:

$f(x).g(x)=\int f'(x).g(x)dx+\int f(x).g'(x)dx$

با توجه به اینکه می خواهیم یک انتگرال را محاسبه کنیم؛ یکی از دو عبارت انتگرالی را تنها می کنیم؛ رابطه زیر رابطه کاربردی انتگرال جزء به جزء است:

(1)

$\int f'(x).g(x)dx=f(x).g(x)-\int f(x).g'(x)dx$

روش کارآمد این است که تابعی را در عبارت بالا g در نظر بگیریم که انتگرال f(x).g'(x) یک انتگرال سرراست و قابل محاسبه به صورت مستقیم یا حداقل با یک انتگرال جزء به جزء دیگر باشد.

*تمرین حل شده)

$\int x \sin xdx$ را محاسبه کنید.

در اینجا طبق قاعده گفته شده بهتر است x را g(x) در نظر بگیریم تا در سمت راست فرمول، انتگرالی ساده داشته باشیم:

$\int x \sin xdx=x(-\cos x)+\int -\cos x dx$

حال انتگرال سمت راست به راحتی قابل محاسبه است و جواب مسئله ما پیدا می شود:

$\int x \sin xdx=-x\cos x -\sin x+c$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO

انتگرال ؛ انتگرال جزء به جزء

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه انتگرال ؛ انتگرال جزء به جزء در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ