انتگرال ؛ انتگرال توابع مثلثاتی

آموزش, آموزش ریاضی

در دو مقاله قبلی با مقدمات و تعاریف انتگرال و همچنین انتگرال چند جمله ای توان دار و برخی خواص انتگرال آشنا شدیم. در این مقاله قرار است با پادمشتق های توابع مثلثاتی آشنا شویم؛ محاسبه انتگرال برخی از روابط و توابع مثلثاتی ( مانند تانژانت ) به سادگی امکان پذیر نیست پس فعلا از آن ها عبور می کنیم تا بعدا با این انتگرال ها و روش های کاربردی حل آن آشنا شویم.

انتگرال سینوس و کسینوس

به سادگی و با بررسی روابط پادمشتقی بین این دو تابع مثلثاتی، می توان پی به انتگرال این دو تابع برد.

(1)،(2)

$\\ \int \sin x \; dx=-\cos x +c \\ \\ \int \cos x \; dx=\sin x+c$

*تمرین حل شده)

$\int (x^{-3}+2\sin x)dx$ را محاسبه کنید.

$\\ \int (x^{-3}+2\sin x)dx=\int (x^{-3})dx+2\int\sin xdx=\\ \frac{-x^{-2}}{2}-2\cos x+c$

انتگرال سکانت به توان دو و کسکانت به توان دو

انتگرال این دو تابع مثلثاتی به این دلیل دارای اهمیت است که حاصل آن یک تابع مثلثاتی سرراست است؛ اثبات ساده تر این دو رابطه بهتر است که از رابطه حاصل مشتق بگیریم و به عبارت درون انتگرال برسیم:

(3)،(4)

$\\ \int \sec^{2}xdx=\tan x+c \\ \int \csc^{2}xdx=-\cot x+c$

*تمرین حل شده)

$\\ \int_{\frac{-\pi}{5}}^{\frac{9\pi}{5}}\sin xdx$ را محاسبه کنید.

نیازی به محاسبه نیست! هرگاه بازه به اندازه دوره تناوب تابع سینوس باشد؛ سطح های زیر نمودار مثبت و منفی یکدیگر را ساده می کنند. پس حاصل این انتگرال صفر است.

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO

انتگرال ؛ انتگرال توابع مثلثاتی

انتگرال سینوس و کسینوس

انتگرال سکانت به توان دو و کسکانت به توان دو

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه انتگرال ؛ انتگرال توابع مثلثاتی در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ