انتگرال ؛ چند جمله ای توان دار و خواص انتگرال

آموزش, آموزش ریاضی

در مقاله قبل با مقدمات و تعاریف انتگرال معین و نامعین آشنا شدیم؛ مشابه روندی که در مشتق چند جمله ای توانی مشاهده کردیم را باید طی کنیم اما به صورت معکوس:

$\\ x^3 \xrightarrow[]{\frac{d}{dx}} 3x^2 \\ 3x^2 \xrightarrow[]{\int } x^3$

انتگرال یک عبارت توانی به صورت زیر است:

(1)

$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+c$

نکته مهم در مورد a این است که می تواند هر مقدار حقیقی به جز 1- را اختیار کند.

*تمرین حل شده)

$\int x^3dx$ را محاسبه کنید.

$\int x^3dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+c=\frac{x^{4}}{4}+c$

خاصیت ضریب انتگرال

می توان ضریب ( که عدد باشد یا وابستگی به متغیر نداشته باشد ) انتگرال گیری را از انتگرال خارج کرد و انتگرال گیری را انجام داد:

(2)

$\int kf(x)\;dx =k\int f(x)\;dx$

*تمرین حل شده)

$\int 6x^2\;dx$ را به ازای c=0 حل کنید.

$\int 6x^2\;dx=6\int x^2\;dx=6(\frac{x^3}{3})=2x^3$

خاصیت مجموع انتگرال

می توان دو یا چند عبارت که میانشان جمع یا تفریق وجود دارد را تفکیک کرد و جداگانه انتگرال گرفت:

(3)

$\int f(x)+g(x)\;dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

*تمرین حل شده)

$\\ \int^{2}_{-1} 2x^2+8x+1\;dx$ را حل کنید.

$\\ \int^{2}_{-1} 2x^2+8x+1\;dx=2\int^{2}_{-1} x^2 dx+8\int^{2}_{-1} xdx+\int^{2}_{-1} 1dx= \\ \\ (2\frac{x^3}{3}+4x^2+x)\begin{vmatrix} 2\\ -1 \end{vmatrix}=\frac{16}{3}+16+2-\frac{2}{3}+4-1=21+\frac{14}{3}=\frac{77}{3}$

*تمرین حل شده)

$\int (\frac{5}{x^2}+3x)dx$ را حل کنید.

$\\ \int (\frac{5}{x^2}-3x)dx=5\int (x^{-2})dx-3\int xdx= \\ \\ 5\frac{x^{-1}}{-1}+3x^2 +c=\frac{-5}{x}+3x^2+c$

مسائل بیشتری می خواهید؟

بزودی

SCIENCIO

انتگرال ؛ چند جمله ای توان دار و خواص انتگرال

خاصیت ضریب انتگرال

خاصیت مجموع انتگرال

مسائل بیشتری می خواهید؟

درگاه انتگرال ؛ چند جمله ای توان دار و خواص انتگرال در کوئستیو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ