به سادگی می توان انتگرال معین را مساحت علامت دار میان یک تابع و محور x ها در بازه ای معین تعریف کرد. که نماد آن به صورت زیر است:
انتگرال معین
سطح میان تابع f و محور xها در بازه بین x=a و x=b، به طور قراردادی هرگاه تابع به ترتیب بالا و پایین محور x باشد و بازه انتگرال گیری از ایکس کوچکتر به سمت ایکس بزرگتر باشد؛ مساحت زیر نمودار (حاصل انتگرال معین) به ترتیب مثبت و منفی است. هرگاه تابع به ترتیب بالا و پایین محور x باشد و بازه انتگرال گیری از ایکس بزرگتر به سمت ایکس کوچکتر باشد؛ مساحت زیر نمودار (حاصل انتگرال معین) به ترتیب منفی و مثبت است.
می توان بازه انتگرال معین را با قرینه کردن جابجا کرد:
(1)
انتگرال نامعین
ماهیت انتگرال نامعین پیدا کردن یک تابع اولیه (پاد مشتق) برای تابع مورد نظر است. انگار می خواهیم تابعی بیابیم اگر از آن مشتق بگیریم؛ تابع ما ساخته شود. همه توابع دارای تابع اولیه سرراست و واضح نیستند اما خوشبختانه بسیار از توابع چنین تابع اولیه ای را دارا هستند. اگر تابع اولیه F(x) باشد؛ نماد انتگرال نامعین به صورت زیر است که در آن c یک عدد ثابت است:
(2)
اگر تابع اولیه را F(x) در نظر بگیریم؛ انتگرال نامعین و معین به صورت زیر به هم مربوط می شوند.
(3)
رابطه بالا نشان دهنده این است که صرفا با داشتن پاد مشتق تابع، می توان مساحت زیر و بالای نمودار را در هر بازه ای محاسبه نمود.
*تمرین حل شده)
می دانیم که تابع y=x3 یک تابع اولیه برای تابع y=3x2 است؛ مساحت زیر نمودار را در بازه 1 تا 5 محاسبه کنید.
از رابطه (3) مقاله حساب می کنیم:
در مقالات بعدی، شیوه های متداول یافتن تابع اولیه را بررسی خواهیم کرد.